Точечные оценки

Тема: Статистические оценки параметров распределения.

Одной из основных задач математической статистики является оценка неизвестных параметров, характеризующих распределение генеральной совокупности . Совокупность независимых случайных величин , каждая из которых имеет то же распределение, что и случайная величина называют случайной выборкой объёма из генеральной совокупности и обозначают . Любую функцию случайной выборки называют статистикой.

Если функция распределения генеральной совокупности известна с точностью до параметра , то его точечной оценкой называют статистику , значение которой на данной выборке принимают за приближённое значение неизвестного параметра : .

Чтобы точечные оценки давали «хорошее» приближение оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определённым требованиям. «Хорошей» считается оценка, обладающая свойствами состоятельности, несмещённости и эффективности.

Оценка называется: 1) состоятельной оценкой параметра , если при неограниченном увеличении объёма выборки она сходится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е. ; 2) несмещённой (оценкой без систематических ошибок), если её математическое ожидание при любом равно оцениваемому параметру, т.е. ; 3) эффективной (в некотором классе несмещённых оценок), если она имеет минимальную дисперсию в этом классе.

Пусть распределение генеральной совокупности известно с точностью до вектора параметров и требуется найти значение его оценки по выборке .

Оценкой метода максимального правдоподобия вектора параметров называют статистику значение которой для любой выборки удовлетворяет условию: , где - функция правдоподобия выборки , - множество всех возможных значений вектора параметров .

Функция правдоподобия имеет вид: 1) - для дискретной случайной величины ;

2) - для непрерывной случайной величины .

Если функция дифференцируема как функция аргумента для любой выборки и максимум достигается во внутренней точке , то значение точечной оценки максимального правдоподобия находят, решая систему уравнений максимального правдоподобия: , . Нахождение упрощается, если максимизировать не саму функцию правдоподобия, а её логарифм , так как при логарифмировании точки экстремума остаются теми же, а уравнения, как правило, упрощаются и записываются в виде: , .

13.29 По выборке объёма из генеральной совокупности найдено значение смещённой оценки генеральной дисперсии . Найти значение несмещённой оценки дисперсии генеральной совокупности, если: а) ; б) .

В задачах 13.30-13.34 по выборке объёма найти значения точечных оценок параметров указанных распределений методом максимального правдоподобия.

13.30 Биномиальное распределение с параметром (вероятность появления некоторого события в одном испытании): ,

где - число появлений события в -ом опыте, - количество испытаний в одном опыте, - число опытов.

13.31 Распределение Пуассона с параметром : ,

где - число появлений события в -ом опыте, - количество испытаний в одном опыте, - число опытов.

13.32 Геометрическое распределение с параметром (вероятность появления некоторого события в одном испытании): , где - число испытаний до появления события .

13.33 Показательное распределение с параметром , функция плотности которого .

13.34 Нормальное распределение с параметрами с функцией плотности .

13.36 Найти методом максимального правдоподобия по выборке объёма значение оценки параметра распределения «хи-квадрат», функция плотности которого .

13.37 Найти методом максимального правдоподобия по выборке объёма значение оценки параметра гамма-распределения ( известно), функция плотности которого .