2015-06-30
204
Статистическое оценивание параметров
Предметом статистики является изучение случайных величин по результатам наблюдений. Пусть случайная величина ξ имеет нормальноераспределение: ее плотность распределения вероятностей
Числа σ – стандартное отклонение, m - математическое ожидание, σ2 -дисперсия. Выборкой объема n называется n независимых нормально распределенных случайных величин. Результаты наблюдений (реализация выборки) - совокупность из n чисел x1,x2,…,xn.
Целью работы является оценка неизвестных параметров m и σ2 по результатам наблюдений x1,x2,…,xn. В качестве оценки математического ожидания рассмотрим выборочное среднее
 |
Для дисперсии рассмотрим две оценки: выборочную дисперсию
 |
и несмещенную дисперсию
Квадратные корни из выборочной и несмещенной дисперсий определяют выборочное и несмещенное стандартные отклонения
Рассмотрим интервальные оценки для математического ожидания. Доверительным интервалом называют
где величина Δ - предельная ошибка (статистическая погрешность). Для ее вычисления задают доверительную вероятность γ, например γ =0,95 находят из условия, что при неоднократных повторениях выборки, примерно 95% выборочных средних попадут в этот доверительный интервал.
Рассмотрим два случая вычисления величины Δ.
1. 
Точное значение дисперсии σ2 неизвестно. Величина Δ вычисляется по формуле
Здесь tγ обозначает квантиль распределения Стьюдента с (n -1) степенью свободы.
2. 
Точное значение дисперсии σ2 известно. Величина Δ вычисляется по формуле
Здесь zγ обозначает квантиль стандартного нормального распределения порядка (1+γ)/2:
