Сущность транспортной задачи линейного программирования

В различных местах оправки имеется однородный груз, который требуется доставить в несколько пунктов назначения. Известно, сколько груза отправляется из каждого пункта и сколько груза должно поступить в пункт назначения. Причём безразлично, какой именно отправитель будет доставлять груз тому или иному получателю. Требуется так организовать перевозки, чтобы обеспечить минимальный общий пробег груза, т. е. минимизировать затраты на транспортировку.Экономико-мате­ма­тическая модель транспортной задачи представляется обычно в виде транспортной таблицы или матрицы.

Таблица 3.1 - Экономико-математическая модель транспортной задачи

Примечание. А_i – название пункта отправления; В_j – название пункта назначения; a_i – производственная мощность поставщиков; b_j – спрос потребителей; m – число поставщиков; n – число потребителей; i – номер строки (i-й поставщик) i = 1…m; j – номер столбца (j-й потребитель) j = 1…n; c_ij – показатель критерия оптимальности, удельные затраты на транспортировку единицы продукции (себестоимость перевозок) от поставщика i до потребителя j; x_ij – количество продукции, перевозимое от поставщика i до потребителя j, план перевозок, распределение поставок, корреспонденция грузов.

Условия задачи в принятых обозначениях следующие.

1. Каждый поставщик должен дать ровно столько продукции, столько у него есть, т. е. сумма поставок по каждой строке должна будет равна мощности a_i этой строки:

. (3.1)

2. Каждый потребитель должен получить ровно столько продукции, сколько ему требуется, т. е. сумма поставок по каждому столбцу должна будет равна спросу b_i этого столбца:

. (3.2)

3. Из вышеприведённых условий (3.1) и (3.2) следует:

. (3.3)

В случае если , то транспортная задача линейного программирования называется открытой. Если , то это несбалансированная задача с дефицитом. Если , то это несбалансированная задача с избытком.

Чтобы определить суммарные затраты на перевозки, достаточно просуммировать произведения объёмов каждой поставки на соответствующие им удельные затраты на транспортировку. План будет оптимальным, если эта сумма (целевая функция F) будет сведена к минимуму:

. (3.4)

Транспортная задача является закрытой, если соблюдается условие (3.3). Если данное условие не соблюдается, то для приведения открытой транспортной задачи к закрытому виду вводится фиктивный потребитель ФВ или фиктивный поставщик ФА. Разница между производственной мощностью и спросом относится на его счёт. Расходы по доставке груза до фиктивного потребителя или фиктивного поставщика равны нулю, так как груз фактически не перевозится.