Основные понятия математической логики

Математическая логика – это раздел математики, которая исследует закономерности логических процессов на основе применения математических методов. Иногда ее называют алгеброй логики или Булевой алгеброй в честь создателя.

Основным понятием математической логики является понятие высказывание.

Высказыванием называется любое повествовательное предложение, истинность или ложность которого можно оценить. Высказываниями не являются вопросительные предложения, предложения в повелительном наклонении, прямая речь.

Например. Предложения «Волга впадает в Каспийское море», «Сегодня – четверг», «» являются высказываниями, а предложения «Откройте окно», «Здравствуйте» не являются высказываниями.

Каждое высказывание принимает только одно из двух возможных логических значений: истина (1) или ложь (0).

Например. «Все цветы – красные» – ложное высказывание, «Любой квадрат является четырехугольником» – истинное высказывание.

Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием; в противном случае высказывание называется составным (сложным).

Например. «Квадрат является четырехугольником» – это простое высказывание; «Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник является квадратом или прямоугольником» – это составное высказывание.

Простые высказывания обозначаются заглавными буквами латинского алфавита с индексами или без: или .

Математическая логика изучает методы установления истинности или ложности составных логических высказываний с помощью алгебраических методов. При этом составное логическое высказывание описывается функцией, результатом вычисления которой может быть либо истина, либо ложь (1, либо 0). При этом аргументами функции являются простые высказывания, которые также могут иметь только одно из значений: 0, либо 1.

Алгебра логики не касается сути этих высказываний. Если кто-то решит, что высказывание «Земля вращается вокруг Луны» истинно, то алгебра логики это примет как факт. Дело в том, что булева алгебра занимается вычислениями результата сложных логических высказываний на основе заранее известных значений простых высказываний.