2015-06-30
447
Случайная величина 
называется распределенной по нормальному (гауссовскому) закону 
с параметрами 
и 
, если плотность распределения вероятностей имеет вид:
, 
. (А.1)
Функция распределения нормального закона или интегральная функция равна:
.
Параметры 
и 
совпадают с основными характеристиками распределения:
, 
.
Если Х распределена по закону N(0,1 ), то она называется стандартизированной нормальной величиной.
Функция распределения стандартизированной нормальной величины
.
называется функцией стандартного нормального распределения. С ее помощью можно вычислять интервальные вероятности для нормального распределения :
. (A.2)
Значения функции 
приведены в приложении Б. При решении задач на нормальное распределение часто требуется использовать табличные значения функции нормального распределения.
Поскольку для этой функции справедливо соотношение:
, (A.3)
достаточно иметь табличные значения функции только для положительных значений аргумента.
Для вероятности попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал справедлива формула:
. (A.4)
Центральные моменты нормального распределения удовлетворяют рекуррентному соотношению:
.
Отсюда следует, что все центральные моменты нечетного порядка равны нулю (так как 
).
Закон распределения c2(к)
Распределением 
с 
степенями свободы называется распределение случайной величины 
, равной сумме квадратов независимых нормально распределенных по закону N(0,1) случайных величин 
, то есть распределение случайной величины
.
Распределением с степенями свободы там, где это не вызывает недоразумений, будет обозначаться так же 
.
Плотность распределения 
определяется формулой:
.
Среднее и дисперсия распределения равны соответственно:
.
Распределение часто используется в статистических вычислениях, в частности, в связи со следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть 
– выборка из нормально распределенной генеральной совокупности , а 
и 
– соответственно выборочное среднее и выборочная дисперсия.
Тогда статистики 
и 
– независимые случайные величины, причем статистика 
имеет распределение 
.
Заметим, что если 
и 
– независимые случайные величины, имеющие распределение с 
и 
степенями свободы соответственно, то сумма этих случайных величин имеет распределение с + степенями свободы:
.
Распределение при больших значениях 
аппроксимируется с достаточной для практических расчетов точностью нормальным распределением. Это свойство используется для приближенного выражения квантилей 
распределения через квантили 
нормального распределения N(0,1).
Обычно используют следующие две формулы:
, (А5)
. (А.6)
Формула А.5, применяемая при 
и 
, дает относительную погрешность в пределах 1%, а формула А.6 применяется для вычисления квантилей малого порядка.
Например: Вычислить квантили 
. По таблицам находим 
=2,56.
Для вычисления следующего квантиля воспользуемся формулой А.5. Так как 
=1,645, то 
.
По формуле А.6, используя значение 
, получаем 
.
Закон распределенияСтьюдента
Распределением Стьюдента с степенями свободы называется распределение случайной величины 
, равной отношению двух независимых случайных величин 
и 
, т.е.
,
где имеет нормальное распределение N(0,1).
Распределение Стьюдента с степенями свободы имеет среднее: 
и дисперсию 
.
Распределение Стьюдента с степенями свободы имеет плотность:
.
Плотность распределения Стьюдента симметрична относительно оси ординат, следовательно, для квантилей 
имеет место соотношение:
.
При больших 
для квантилей распределение Стьюдента выполнено приближенное равенство: 
(Б.4).
Более точная формула имеет вид:
.
Например:
1) 
.
2) 
.
3) 
.
4) 
.
