Нормальный закон распределения или закон Гаусса

Случайная величина называется распределенной по нормальному (гауссовскому) закону с параметрами и , если плотность распределения вероятностей имеет вид:

, . (А.1)

Функция распределения нормального закона или интегральная функция равна:

Параметры и совпадают с основными характеристиками распределения:

, .

Если Х распределена по закону N(0,1 ), то она называется стандартизированной нормальной величиной.

Функция распределения стандартизированной нормальной величины

называется функцией стандартного нормального распределения. С ее помощью можно вычислять интервальные вероятности для нормального распределения :

. (A.2)

Значения функции приведены в приложении Б. При решении задач на нормальное распределение часто требуется использовать табличные значения функции нормального распределения.

Поскольку для этой функции справедливо соотношение:

, (A.3)

достаточно иметь табличные значения функции только для положительных значений аргумента.

Для вероятности попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал справедлива формула:

. (A.4)

Центральные моменты нормального распределения удовлетворяют рекуррентному соотношению:

Отсюда следует, что все центральные моменты нечетного порядка равны нулю (так как ).

Закон распределения c²(к)

Распределением с степенями свободы называется распределение случайной величины , равной сумме квадратов независимых нормально распределенных по закону N(0,1) случайных величин , то есть распределение случайной величины

Распределением с степенями свободы там, где это не вызывает недоразумений, будет обозначаться так же .

Плотность распределения определяется формулой:

Среднее и дисперсия распределения равны соответственно:

Распределение часто используется в статистических вычислениях, в частности, в связи со следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть – выборка из нормально распределенной генеральной совокупности , а и – соответственно выборочное среднее и выборочная дисперсия.

Тогда статистики и – независимые случайные величины, причем статистика имеет распределение .

Заметим, что если и – независимые случайные величины, имеющие распределение с и степенями свободы соответственно, то сумма этих случайных величин имеет распределение с + степенями свободы:

Распределение при больших значениях аппроксимируется с достаточной для практических расчетов точностью нормальным распределением. Это свойство используется для приближенного выражения квантилей распределения через квантили нормального распределения N(0,1).

Обычно используют следующие две формулы:

, (А5)

. (А.6)

Формула А.5, применяемая при и , дает относительную погрешность в пределах 1%, а формула А.6 применяется для вычисления квантилей малого порядка.

Например: Вычислить квантили . По таблицам находим =2,56.

Для вычисления следующего квантиля воспользуемся формулой А.5. Так как =1,645, то .

По формуле А.6, используя значение , получаем .

Закон распределенияСтьюдента

Распределением Стьюдента с степенями свободы называется распределение случайной величины , равной отношению двух независимых случайных величин и , т.е.