Пример 1. Определить число N молекул, содержащихся в объеме V = 1 мм3 воды, и массу m1 молекулы воды

Определить число N молекул, содержащихся в объеме V = 1 мм³ воды, и массу m₁ молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекулы.

Дано:	Решение: Число N молекул, содержащихся в некоторой системе массой m, равно произведению постоянной Авогадро N_А на количество вещества v: . Так как v = m/M, где М - молярная масса, то .
N, m₁, d -?

Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим:

Произведем вычисления, учитывая, что для воды :

Массу m₁ одной молекулы можно найти по формуле

(1)

Подставив в (1) значения М и N_A, найдем массу молекулы воды:

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубической ячейки) V₁ = d³, где d – диаметр молекулы. Отсюда

. (2)

Объем V₁ найдем, разделив молярный объем V_m на число молекул в моле, т.е. на N_A:

(3)

Подставим выражение (3) и (2):

где . Тогда (4)

Проверим, дает ли правая часть выражения (4) единицу длины:

Произведем вычисления:

Пример 2.

В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением р₁= 1 МПа и при температуре Т₁ = 300 К. После того как из баллона было взято m = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т₂= 290 К. Определить давление р₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Дано: р₁= 1·10⁶ Па Т₁ = 300 К Т₂= 290 К m = 0,01кг V=1·10^-2м³	Решение: Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа: (1)
р₂-?

где m₂ – масса гелия в баллоне в конечном состоянии; М – молярная масса гелия; R – молярная газовая постоянная.

Из уравнения (1) выразим искомое давления

(2)

Массу m₂ гелия выразим через массу m₁, соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона:

(3)

Массу m₁ гелия найдем также из уравнения Менделеева – Клапейрона, применив его к начальному состоянию газа:

(4)

Подставив выражение массы m₁ в (3), а затем выражение m₂ в (2), найдем:

или (5)

Проверим, дает ли формула (5) единицу давления. Для этого в ее правую часть вместо символов величин подставим их единицы. В правой части формулы два слагаемых. Очевидно, что первое из них дает единицу давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых (Т₂ / Т₁) – безразмерный, а второй – давление. Проверим второе слагаемое:

Произведем вычисления по формуле (5), учитывая, что , :

Пример 3.

Баллон содержит m ₁= 80 г кислорода и m ₁= 320 г аргона. Давление смеси p = 1 МПа, температура Т = 300 К. Принимая данные газа за идеальные, определить объем V баллона.

Дано: р= 1·10⁶Па m₁ = 0,08 кг m₂= 0,32 кг T = 300 K	Решение: По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. По уравнению Менделеева – Клапейрона, парциальные давления р₁ кислорода и р₂ аргона выражаются формулами:
V -?

Следовательно, по закону Дальтона, давление смеси газов

р = р ₁ + р ₂, или ,

Откуда объем баллона

Произведем вычисления, учитывая, что М ₁ = 32·10^-3 кг/моль, М ₂ = 40·10^-3 кг/моль, :

Пример 4.

Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию Е _к вращательного движения всех молекул кислорода массой m = 4 г.

Дано: m = 0,004 кг T = 350 K

Решение: На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия

, где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура газа. Так как вращательному движению двух- атомной молекулы (молекула кислорода -

, Е _к -?

двухатомная) соответствует две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода = . (1)