Доказательство теоремы

Составим матрицу M порядка 2n: из блоков порядка n (- E – минус единичная матрица). По лемме, . Преобразуем матрицу, пользуясь тем, что определитель не изменяется, если к строке матрицы прибавить другую ее строку, умноженную на число, и умножается на (-1) при перестановке двух строк. Запишем определитель более подробно:

. Прибавим к (n+1) строке матрицы M первую строку, умноженную на , вторую строку, умноженную на , и т.д., n-ю строку, умноженную на , в результате чего (n+1) строкa приобретет вид . Аналогичные действия проделаем с (n+2)-й, …, 2n-й строкой и получим, что . Теперь поменяем местами 1-й и (n+1)-й, …, n-й и 2n-й столбцы, чтобы блок нулей переместить в положение, предусмотренное леммой, при этом n раз сменится знак определителя: , чтд.