double arrow
Мгновенный центр скоростей (МЦС) и его определение. Определение скоростей точек тела с помощью МЦС

3

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется такая точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

При любом непоступательном движении плоской фигуры такая точка всегда существует. Действительно,

Пусть в данный момент времени известно положение МЦС фигуры. Тогда, принимая его за полюс и учитывая, что , получим по формуле (4) для произвольной точки фигуры

т.е. знание МЦС упрощает определение скоростей точек плоской фигуры, т.к. сразу позволяет определить модуль скорости по формуле (5) и направление: .

Таким образом, при известном МЦС вектор скорости любой точки плоской фигуры равен

модуль определяется по формуле

направлен вектор к отрезку РМ, соединяющему МЦС с данной точкой М, в сторону вращения фигуры вокруг МЦС.

В силу вышесказанного, возникает важная задача об определении положения МЦС плоской фигуры.

Положение мгновенного центра скоростей плоской фигуры может быть найдено, если:

1) задан закон движения (1) плоской фигуры (МЦС определяется с помощью дифференциальных равенств);

2) известны направления скоростей двух точек плоской фигуры, или их траектории.

Рассмотрим только случай 2). Пусть известны направления скоростей двух точек А и В фигуры. Тогда для нахождения МЦС надо из этих точек опустить перпендикуляры к направлениям скоростей. В точке пересечения этих перпендикуляров и будет МЦС.

Частные случаи определения МЦС.

а) скорости точек параллельны, но точки не лежат на общем перпендикуляре к скоростям




Ясно, что в этом случае перпендикуляры к скоростям параллельны, пересекаются в ¥, угловая скорость фигуры = 0 и скорости всех её точек в данный момент равны между собой. Такое движение фигуры называют мгновенно поступательным.

Замечание. Не путать мгновенно поступательное движение с поступательным: при поступательном движении скорости и ускорения всех точек равны между собой в любой момент времени, а при мгновенно поступательном равны только скорости всех точек (но не ускорения – они не равны друг другу!) и только в данный момент.

б) скорости двух точек фигуры параллельны, направлены в одну сторону и их модули не равны друг другу, а точки лежат на одном перпендикуляре к скоростям

В этом случае одних направлений скоростей не достаточно: должны быть известны и их модули.

Для нахождения МЦС надо концы векторов скоростей соединить прямой линией: в точке её пересечения с продолжением отрезка АВ и будет МЦС.



Если известно расстояние АВ, то легко получить

в) то же, что и в предыдущем случае, но векторы скоростей направлены в разные стороны; в этом случае модули скоростей могут быть и равны между собой, но должны быть известны.

Нахождение МЦС также аналогично предыдущему: концы векторов скоростей соединяем прямой линией – в точке её пересечения с отрезком АВ будет МЦС.

Если задано расстояние АВ, то аналогично пункту б) можно найти

г) качение колеса без скольжения по любой гладкой неподвижной поверхности.

Если колесо всё время остаётся в вертикальной плоскости, и отсутствуют повороты вокруг вертикальной оси, то оно совершает плоскопараллельное движение. В этом случае положение МЦС сразу известно: в точке контакта колеса с поверхностью. Действительно, если нет скольжения, то скорость точки контакта равна скорости соответствующей точки поверхности, т.е. нулю (поверхность неподвижна). По определению МЦС – здесь он и находится.

В связи с этим, интересно посмотреть распределение скоростей точек катящегося без скольжения колеса:

скорость верхней точки колеса в два раза больше скорости его центра!

Примеры определения МЦС для шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма.

Определение МЦС для шатуна АВ кривошипно-коромыслового механизма:

Рассмотрим пример определения скорости и ускорения точки плоской фигуры.

Прямоугольная пластина со сторонами a = 0,4 м и b = 0,3 м движется в своей плоскости. В данный момент времени скорость точки А пластины равна по модулю vA = 4 м/с, модуль ускорения этой точки равен aA = 3 м/с2, модули угловой скорости и углового ускорения фигуры равны соответственно , . Направления показаны на рисунке.

Определить скорость и ускорение точки B плоской фигуры в этот момент времени.

РЕШЕНИЕ. Принимая за полюс точку А, для определения скорости точки B используем формулу (4):

Вычислив расстояние АВ

по формуле (5) найдём модуль скорости точки В при её вращении вокруг полюса А

Изображаем вектор ():

(стрелка вектора должна быть направлена в сторону вращения фигуры!).

Вектор скорости полюса переносим параллельно в точку В,

согласно равенству (4) складываем векторы и .

Для определения модуля скорости находим :

Теперь модуль скорости можно найти двумя способами:

по теореме косинусов (формула (6))

При определении скорости вторым способом выбираем оси координат

и проектируем (4) на эти оси:

Затем находим модуль скорости по теореме Пифагора

Ускорение точки В определяем по формуле (8)

принимая за полюс точку А с известным ускорением.

По формулам (10) и (12) находим модули ускорений

Изображаем векторы этих ускорений:

.

Так как согласно (8) для определения вектора ускорения точки В надо складывать три вектора, то выбираем оси координат

и проектируем (8) на эти оси:

Модуль ускорения будет

Геометрически (на рисунке) вектор ускорения строится при помощи «векторного многоугольника»: от заданной точки в выбранном масштабе последовательно откладываются векторы так, что конец предыдущего вектора является началом следующего; сумма векторов – вектор, идущий из заданной точки в конец последнего вектора.

Зная скорость точки А и угловую скорость фигуры можно найти положение мгновенного центра скоростей. Из равенства (15) следует

Используя доказательство существования МЦС, получаем.

3





Сейчас читают про: