П.1.4. Функциональное уравнение степенной функции

Функциональному уравнению

f(xy) = f(x)·f(y) (x > 0, y > 0) (7)

удовлетворяют в классе непрерывных функций только функции вида

f(x) = x^a.

Прибегая к той же подстановке, что и в п. 1.3, мы приведём уравнение (7) к уравнению (4):

,

откуда

φ(ξ) = c^ξ (c >0), и, значит, f(x) = c^lnx = x^a (a = lnc).

Метод последовательного анализа можно применить к решению других уравнений.

Пример 1. Функция f определена и непрерывна на множестве R, f(1) = 1 и для любых действительных x и y

Чему равно f(x)?

Решение. Из данного равенства при x = y = 0 получаем, что f(0) = 0, а при y = 0 имеем f(x) = f(|x|), так что функция f чётная и достаточно рассматривать только положительные значения аргумента.

По индукции легко получить равенство

;

в самом деле, по предположению индукции

Положив в доказанном равенстве

,

будем иметь

,

т.е.

.

Если теперь – положительное рациональное число, то

,

если же x - иррациональное число, то x является пределом последовательности рациональных чисел, , и в силу непрерывности f будем иметь