Позиционные системы счисления

Запись числа в позиционной системе счисления – последовательность цифр, разделенная запятой/точкой на две части

X = α_n…α₃α₂α₁α₀.α _-1…α_-m (1)

Точка фиксирует номера позиций цифр в записи числа: позиция слева от точки имеет номер ноль; влево/вправо номера позиций растут/убывают на единицу. Значение цифры α_i= β_i*pⁱ. Здесь β_i – элемент базы, соответствующий цифре α_i, i – номер позиции цифры, p – число, называемое основанием системы счисления. Поэтому верно

X = β_n*pⁿ₊ β_n-1*p^n-1_+…+ β₂*p²₊ β₁*p¹₊ β₀*p⁰₊ β_-1*p^-1_+…

₊ β_-m*p^-m (2)

Таким образом, записи числа соответствует полином по последовательным степеням основания системы счисления с коэффициентами – элементами базы, а точка в записи числа отделяет цифры, которым соответствуют слагаемые с отрицательными показателями степеней p от слагаемых с неотрицательными показателями. Часть записи числа перед точкой называют целой частью числа, после точки – его дробной частью.

Чтобы любое число в позиционной системе счисления записывалось единственным способом, к базе системы счисления предъявляются дополнительные требования:

Ø количество элементов базы фиксировано (k):

B={b₁, b₂, …, b_k}. По количеству элементов базы систему счисления называют k – ичной (двоичной, троичной, …);

Ø элементы базы – последовательные целые числа:

b_i=b_i-1 +1;

Ø нуль должен быть элементом базы: 0 B.

Например, двоичная система счисления может иметь базы B={0,1} или B={-1,0}. Базу с наименьшим элементом, равным 0, принято называть неотрицательной.

Пусть система счисления имеет p=-2; B={0,1}; C={α,β}. Тогда для получения записи числа 8 в этой системе счисления следует представить его в виде суммы степеней p=-2 с коэффициентами 0 или 1: 8=1*(-2)⁴+1*(-2)³+0*(-2)²+0*(-2)¹+0*(-2)⁰=> 8= ββααα_-2. За последней цифрой записи числа принято указывать основание системы счисления, в которой число записано.

На практике используются системы счисления с неотрицательными базами и основаниями, совпадающими с количеством элементов базы: B={0, 1, …, k-1}; p=k. В таких системах счисления операции выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. В основе правил лежат общие правила выполнения операций над полиномами (2). Но в каждой системе счисления используются свои таблицы сложения и умножения.

Задачи

a)По записи числа в десятичной системе счисления получить его запись в указанной системе счисления.

a.1. X=79; p=k=3; B={0,1,2}; C={0,1,2}

a.2. X=79; p=k=3; B={-1,0,1}; C={ 1,0,1}

a.3. X=79; p=k=2; B={0,1};C={0,1}

a.4. X=79; p=-2; k=2; B={0,1}; C={0,1}

a.5. X=79; p=1/2; k=2; B={0,1}; C={0,1}

b) В какой системе счисления с неотрицательной базой и p=k 32+24=100?

c) Определить основание системы счисления, в которой 23?5?+1?642=42423, если база системы счисления является неотрицательной и p=k.

d) Cформулировать признаки делимости на 2, 3, 4, 6 в системе счисления с неотрицательной базой и p=k=12.