Эквивалентная система

В заданной системе в направлении имеющихся жестких связей (в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе) перемещений быть не может. Поэтому в эквивалентной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны быть равны нулю. Следовательно, реакции отброшенных связей должны иметь такие значения, при которых перемещения по их направлениям равнялись бы нулю. Таким образом, условие равенства эквивалентной и заданной систем математически сводится к удовлетворению системы n линейных уравнений:

δ₁₁Χ₁ + δ₁₂Χ₂ + …+ δ_1nΧ_n + Δ_1Р = 0,

δ₂₁Χ₁ + δ₂₂Χ₂ + …+ δ_2nΧ_n + Δ_2Р = 0,

……………………………………..

δ_n1Χ₁ + δ_n2Χ₂ + …+ δ_nnΧ_n + Δ_nР = 0.

Эти уравнения являются теми дополнительными уравнениями деформаций (перемещений), которые позволяют раскрыть статическую неопределимость заданной системы. Данные уравнения называются каноническими уравнениями метода сил. Первое из этих уравнений выражает мысль о равенстве нулю перемещения в эквивалентной системе по направлению первой отброшенной связи Χ₁ , второе – по направлению второй отброшенной связи и т.д.

Число уравнений равно числу отброшенных связей, т.е. степени статической неопределимости заданной системы.

В системе канонических уравнений в качестве коэффициентов при неизвестных стоят перемещения основной системы, вызываемые единичными силами, действующими по направлениям отброшенных связей. Коэффициент δ_ij представляет перемещение по направлению связи i, вызванное силой, равной единице, действующей по направлению связи j. Коэффициенты δ_ij носят название единичных коэффициентов канонических уравнений. Коэффициент Δ_iр представляет перемещение по направлению связи i, вызванное действием заданной внешней нагрузки. Коэффициенты Δ_iр называются грузовыми коэффициентами или свободными членами канонических уравнений.

Коэффициенты δ_ii называются главными коэффициентами, а δ_ij – побочными. На основании теоремы о взаимности перемещений δ_ij = δ_ji.

Определяются коэффициенты канонических уравнений с помощью интегралов Мора по формулам:

δ_ij =

Δ_iр =

т.к. фермы это конструкции, работающие преимущественно на сжатие (растяжение), то в выражении интегралов Мора с соблюдением достаточной точности остаются только слагаемые, зависящие от продольных усилий.

Для подсчета коэффициентов используются способы определения продольных усилий в стержнях ферм.