Проверка правильности вычисления положения главных осей тензора напряжений

Проверка правильности вычисления положения главных осей тензора напряжений основана на свойствах матрицы направляющих косинусов (2.13). Она относится к ортогональным матрицам и обладает следующими свойствами:

1. Определитель ортогональной матрицы равен единице.

2. Сумма квадратов элементов, входящих в каждую строку (столбец) равна единице.

3. Если рассматривать каждую строку матрицы как вектор-строку, а каждый столбец – как вектор-столбец, то скалярные произведения двух разных векторов-строк (векторов-столбцов) равны нулю.

Ортогональные матрицы обладают еще рядом замечательных свойств, о которых можно прочесть в учебниках по линейной алгебре, например, в [4].

Воспользуемся первым свойством ортогональных матриц.

Подставив в (2.13) вычисленные направляющие косинусы, получим матрицу направляющих косинусов:

. (2.23)

Определитель этой матрицы равен:

.

Так как определитель получился равным минус единице, новая система координат – левая. Для того, чтобы получить правую систему координат, нужно поменять направление одной из главных осей. Поменяем направление второй оси, тогда она будет определяться направляющими косинусами:

.

Соответствующие углы будут равны:

.

Для того, чтобы получить новую систему координат, нужно теперь все углы откладывать от осей старой системы координат против часовой стрелке, так как и старая, и новая системы координат – правые.