Изучение явления фильтрации пространственных частот

Лабораторная работа № 6

Цель работы – экспериментально исследовать влияние модификации Фурье ­– спектра предмета на его изображение в оптической системе с когерентным освещением.

Для современной теории оптического изображения и оптических систем обработки информации характерно широкое использование метода частотного анализа Фурье [2]. В соответствие с ним любой оптический сигнал (световая волна, отраженная или прошедшая через объект) математически может быть представлен в виде линейной комбинации элементарных функций (преобразование Фурье). Другими словами, объект представляется в виде суперпозиции элементарных дифракционных решеток с различными постоянными, на которых дифрагирует падающая или проходящая световая волна. При этом сразу же за предметом образуется набор элементарных волн (плоских или сферических), ориентированных под разными углами, который называется спектром пространственных частот объекта или его Фурье-спектром. Физически он реализуется в задней фокальной плоскости оптической системы, которая, как известно, в этой плоскости осуществляет двумерное преобразование Фурье, и представляет собой распределение освещенности на ней.

Согласно теории формирования изображения по Аббе [2], только определённая часть дифрагированных порядков или Фурье – компонент, созданных сложным предметом, пропускается входным зрачком конечных размеров. Не пропускаются зрачком те дифрагированные порядки, которые соответствуют высоко­­ – частотным составляющим, т.е. его более мелкой структуре (см. рис.1, на котором в качестве предмета показана решетка. Входной зрачок не пропускает дифрагированные порядки выше первого).

Рис. 1. Схема формирования изображения по Аббе

Различные Фурье – компоненты, прошедшие через входной зрачок, интерферируя между собой, дают в плоскости изображения копию предмета. Чем больше Фурье – компонент участвует (т.е. пропускается входным зрачком) в образовании изображения, тем больше оно походит на оригинал. В соответствие с этим оптическую систему рассматривают как фильтр пространственных частот.

Таким образом, формирование оптической системой изображения сводится к двум этапам:

1) формирование в фокальной плоскости оптической системы дифракционной картины предмета (его Фурье – спектра);

2) преобразованию (в результате интерференции Фурье – компонент) дифракционной картины предмета в его изображение в плоскости изображения.

Если в фокальной плоскости оптической системы произвести изменения в дифракционной картине предмета, например, экранируя отдельные или часть Фурье – компонент, то произойдет соответствующее изменение в изображении предмета. Внесение изменений в изображение предмета посредством модификации его дифракционной картины (Фурье – спектра) называется пространственной фильтрацией.

Рассмотрим возможности метода пространственной фильтрации на примере простой пространственной структуры типа двумерной сетки. На рис. 2 показан неизмененный спектр сетки и соответствующее ему ее изображение. Так как структура сетки периодическая, то ее Фурье – спектр представляет собой набор отдельных спектральных компонент (на рисунке они показаны из-за простоты представления в виде квадратиков различной величины. На самом деле каждый квадратик является фигурой Эйри, диаметр

Рис. 2. Изображение исходной сетки и ее спектра.

Слева – спектр сетки, справа – ее изображение

которой определяется размером круглой оправы, в которую вставлена сетка). Яркие квадратики вдоль горизонтальной оси соответствуют Фурье – компонентам, которые возникают в результате дифракции в горизонтальной плоскости; яркие квадратики в вертикальной плоскости соответствуют Фурье – компонентам, рапространяющимся в результате дифракции в вертикальной плоскости. Внеосевые квадратики соответствуют Фурье – компонентам, которые дифрагируют под соответствующими углами к плоскости предмета.

Посмотрим теперь, как будет меняться изображение предмета, если осуществлять изменения в его спектре. Пусть в Фурье – плоскость (см. рис.1) установлена узкая щель, пропускающая только один центральный горизонтальный ряд спектральных компонент. На рис. 3–а показан модифицированный спектр. На рис. 3–б соответствующее изображение содержит только вертикальную структуру сетки. Горизонтальная структура совершенно исчезает. Поэтому можно утверждать, что именно горизонтально направленные Фурье – компоненты определяют вертикальную структуру изображения.

Рис. 3. а – Спектр сетки, отфильтрованный узкой горизонтальной щелью, пропускающей только центральную горизонтальную систему Фурье–компонент, и соответствующее ему изображение б

Если щель повернуть на 90˚ так, чтобы через нее проходил лишь вертикальный центральный ряд Фурье – компонент, то получающееся изображение содержит только горизонтальную структуру (рис. 4). Можно наблюдать и другие интересные эффекты, например, если в Фурье – плоскости установить ирисовую диафрагму с диаметром отверстия, пропускающего только центральную Фурье – компоненту, то при последовательном увеличение его диаметра можно проследить шаг за шагом Фурье – синтез сетки, т.е. можно будет увидеть, из решеток какого периода состоит исходная сетка. Если же заэкранировать центральный квадратик (это соответствует устранению центральной Фурье – компоненты (или компоненты нулевой частоты, или нулевого порядка), то мы получим изображение сетки (рис. 5) с обращенным контрастом.

Рис. 4. а – Спектр сетки, отфильтрованный вертикальной щелью и соответствующее изображение б

Рис. 5. а – Спектр сетки с отфильтрованным нулевым

порядком и соответствующее изображение б с

обращенным контрастом (белые участки становятся

черными и наоборот)

В рассмотренных примерах модификация Фурье – спектра предмета осуществлялась за счет изменения амплитуды Фурье – компонент. Существует объекты, которые обладают большой прозрачностью, например бесцветные бактерии, свили в стеклах и т.д. При прохождении света через такие объекты основным эффектом будет появление сдвига фаз, величина которого различна в разных точках. В этом случае модификация Фурье – спектра осуществляется как по амплитуде, так и по фазе.

Метод фильтрации пространственных частот, или пространственная фильтрация позволяет проводить оптическую обработку информации (улучшение качества изображения, распознавание образов и т.д.).