Метод линеаризации (метод Ньютона)

Метод Ньютона сводит решение нелинейной краевой задачи к решению серии линейных краевых задач и состоит в следующем.

Пусть для нелинейной краевой задачи (8.3) известна функция удовлетворяющая граничным условиям и грубо приближенно равная искомому Положим

(8.9)

где — поправка к нулевому приближению Подставим (8.9) в уравнение (8.8) и линеаризуем задачу, используя следующие равенства:

Отбрасывая остаточный член получим линейную краевую задачу для нахождения поправки

^(8.10)

где

Решая линейную краевую задачу (8.10) каким-либо численным методом, найдем поправку и примем за первое приближение

Аналогично, зная приближение положим и найдем следующее приближение. Продолжая процесс до тех пор, пока не будут выполнены неравенства

где e — требуемая точность, найдем приближенное решение исходной нелинейной задачи.