2015-06-26
4382
Пусть f: A 
B и g: B C. Тогда отображение h: A C, для которого h (a) = c тогда и только тогда, когда из того что
f (a) = b следует, что g (b) = c, называется произведением или композицией этих отображений. Произведение отображений f и g записывается в виде h = 
.
Содержательно отображение h получается последовательным применением отображений f и g. Наглядное представление произведения отображений приведено на рис. 1.3.
A B C
h
a f b g c
Рис. 1.3
Упражнение. Доказать, что произведение отображений обладает свойством ассоциативности, т.е. для любых отображений f, g, h, для которых определено произведение 
, справедливо равенство: 
.
Обобщением операции композиции отображений является операция суперпозиции. Такая операция применяется тогда, когда области определений представляют собой произведения систем множеств или части таких произведений. Суперпозиция отображений связана с подстановкой вместо отдельных компонент наборов элементов из области определения заданной функции других функций, области значений которых содержатся во множествах значений заменяемых компонент.
Пусть f: A B и A = A 1 ´... ´ A n. Для работы с компонентами элементов области определения такой функции используют представление f в виде f (x 1,..., x n). В этой записи символы переменных x 1,..., x n обозначают компоненты элементов множества A.
Пусть i - этонекоторое число из множества { 1,..., k }, и задана еще одна функция: g: D 1´... ´ D k A i, представляемая в виде g (v 1,..., v k). Обозначим как { w 1,..., w m} - множество из всех переменных f, за исключением x i и всех переменных g.
Тогда суперпозицией f и g, в которой функция g (v 1,..., v k) подставляется в f вместо x i, называется такое отображение h (w 1,..., w m), когда для каждого набора (a 1,..., a m) значений переменных w 1,..., w m выполнено соотношение
h (a 1,..., a m)= f (b 1,... b i - 1, d, b i + 1,…, b n).
В последнем соотношении b 1,... b i- 1, b i+ 1,…, b n - это значения переменных x 1,... xi- 1, xi+ 1,…, x n в наборе (a 1,..., a m), а d = g (s 1,..., s k), где s 1,..., s k - значения v 1,..., v k, выбираемые из того же набора.
Для обозначения суперпозиции функций f и g применяется специальная запись f (x 1,... xi- 1, g (v 1,..., v k), xi+ 1,…, x n).
Если к некоторой функции f операция суперпозиции применяется несколько раз по различным переменным, то получаемое в результате отображение называется суперпозицией f и отображений, подставляемых вместо переменных f.
Если все переменные отображения f (x 1,..., x n) заменяются на g 1 (v 1,1,..., v 1, k 1),..., g n (v n ,1,..., v n , k n) соответственно, то такая суперпозиция представляется записью:
f (g 1 (v 1,1,..., v 1, k 1),.,..., g n (v n ,1,..., v n , k n).
1.3. ЛОГИКА ДОКАЗУЕМОСТИ И ИСТИННОСТИ
