Определение

Высказывательной формой или предикатом называется всякое предложение, содержащее наименования неопределенных объектов или неизвестных, которое превращается в высказывание после подстановки в него конкретных объектов вместо имен неопределенных объектов.

Для обозначения неопределенных или произвольных объектов удобно использовать символы переменных. Для каждой такой переменной уточняется множество, элементы которого могут подставляться в высказывательную форму вместо переменной.

Например, к высказывательным формам относится предложение “ x учится в школе с номером y “. Здесь x обозначает элементы множества всех людей, а y - элемент множества всех натуральных чисел.

Подобным образом высказывательные формы образуют предложения: “ x дружит с y “ и “ x имеет рост y и вес z “, “ x живет в городе y “.

Для удобства будем использовать сокращенную запись высказывательных форм: сначала записывается имя свойства неопределенных объектов, входящих в форму, а затем, в скобках, в определенном порядке перечисляются имена входящих в нее переменных.

Для приведенных примеров высказывательных форм сокращенные записи имеют вид:

Учится (x, y), дружит (x, y), рост-вес (x,y, z), живет (x, y).

Рассмотрим пример высказывательной формы, которая может быть определена для высказывания:

“ Занятия физкультурой дают силу студенту Иванову “.

Эта форма может быть записана в виде: Дает (x, y, z). Здесь x - обозначение объекта, дающего что-то, т.е. выполняющего действие, y - объект или предмет, который дают, а z - объект, получающий y от z.

Примерами применения этой формы являются:

Дает (логика, знания, студент I курса);

Дает (сигарета, здоровье, человек).

Здесь первый из приведенных примеров принимает истинностное значение “ t “, а второй - “ f “.

Пусть P - это символическое обозначение высказывательной формы (свойства), связывающей компоненты n - элементных наборов объектов, обозначаемых символами переменных x₁,..., x_n, которые могут принимать значения из множеств A ₁,..., A_n. Тогда предикату P можно поставить в соответствие функцию, отображающую всякий набор из A ₁ ´... ´ A_п в одно из двух истинностных значений. Множество A ₁ ´... ´ A_п является областью определения соответствующего отображения.

Кроме того множество наборов значений переменных предиката, при подстановке которых вместо неопределенных объектов формы P получается истинное высказывание, образует отношение на множестве всех таких наборов.

Свойство P называется предикатом, а число входящих в него переменных - арностью или размерностью этого предиката.

В частности, высказывания представляют собой нульарные предикаты, поскольку они являются утверждениями, не содержащими переменных.

В приведенных примерах предикат Дает имеет арность 3, а предикат Дружит - арность 2. Предикаты арности 1 и 2 называются также соответственно унарными и бинарными предикатами.

Общеупотребительные арифметические сравнения могут рассматриваться как бинарные предикаты, которые соответственно можно представлять в виде:

Больше (x, у), Больше-или-равно (x, y);

Меньше (x, y), Меньше-или-равно (x, y);

Равно (x, y), Не-равно (x, y).

Примерами неарифметических предикатов являются предикаты, представляющие родственные связи между людьми.

Например, Родитель (x, y), Отец (x, y), Брат (x, y),

Родственник (x, y) и другие предикаты.

Пусть - некоторое множество наборов вида (a ₁,..., a _n), где a ₁,..., a _n - это элементы множеств A ₁,..., A _n соответственно. Поставим ему в соответствие предикат P (x ₁,..., x_n), принимающий истинностное значение “ t “ только на таких наборах значений своих переменных, которые входят в .

Нетрудно увидеть, что заданное соответствие между подмножествами произведения множеств A ₁,..., A _n и предикатами с n переменными, принимающими значения из этих множеств, является взаимно однозначным. Это позволяет говорить о том, что множества наборов и предикаты позволяют представлять одни и те же свойства наборов из A ₁ ´... ´ A _n и эквиваленты.

Из нескольких разных предикатов можно строить новые предикаты с помощью специальных операций, называемых логическими связками и кванторами.

Основные логические связки - это:

КОНЪЮНКЦИЯ - обозначается как &

(эта связка называется также связкой “ И ”);

ДИЗЪЮНКЦИЯ - обозначается как

(называется связкой “ ИЛИ ”);

ИМПЛИКАЦИЯ - обозначается как

(называется связкой “ СЛЕДУЕТ ”);

ОТРИЦАНИЕ - обозначается как

(называется связкой “ НЕ ”).

Если P ₁ и P ₂ - два произвольных предиката, то P ₁ & P ₂ задает новый предикат, переменными которого являются все различные переменные предикатов P ₁ и P ₂, а истинностные значения определяются по правилу: P ₁ & P ₂ принимает значение “ t ” на тех и только тех наборах значений своих переменных, на которых предикаты P ₁ и P ₂ являются истинными.

С помощью дизъюнкции образуется предикат, обозначаемый P ₁ P ₂, принимающий значение “ t ” на тех и только тех наборах значений переменных, на которых хотя бы один из предикатов P ₁ и P ₂ принимает значение “ t ”. Соответственно предикат P ₁ P ₂ принимает значение “ t “ всегда за исключением случая, когда P ₁ истинен, а P ₂ ложен.

Наконец, отрицание - это операция, применяемая к произвольному предикату P, которая имеет результатом новый предикат P, истинный только тогда, когда P ложен.

Истинностные значения результата применения логических связок к предикатам можно представить с помощью следующих истинностных таблиц, в которых указывается истинностное значение результата применения логических связок для всех комбинаций возможных истинностных значений предикатов, к которым применяются такие связки.

P	P
f	t
t	f
P1	P2	P1 & P2	P1 P2	P1 P2
f	f	f	f	t
f	t	f	t	t
t	f	f	t	f
t	t	t	t	t

В двух левых столбцах второй таблицы заданы различные комбинации истинностных значений P ₁ и P ₂, а в последующих столбцах указаны соответствующие значения для результата применения связки.

Приведенные таблицы отражают естественное понимание смысла наименования действий, задаваемых логическими связками. Некоторого комментария требует таблица истинности для связки импликации.

Содержательно запись P ₁ P ₂ понимается как: “ Из P ₁ следует P ₂“, что понимается как указание на логическое следование свойства, представляемого предикатом P ₂, из свойства, представляемого P ₁. При этом результат импликации - истинный только тогда, когда истинное значение P ₂ “не хуже“ истинного значения P ₁. В частности, истинным является следование любого свойства из ложного свойства.

Кроме логических связок к предикатам применяются еще две специальные операции, называемые кванторами существования и всеобщности, которые обозначаются символами и .