Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно

Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2 (q=2ⁿ), может производиться по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (q=2¹), восьмеричной (q=2³) и шестнадцатеричной (q = 2⁴) системами счисления.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную. Для записи двоичных чисел используются две цифры, т.е. в каждом разряде числа возможны два варианта записи. Решаем показательное уравнение:

2 = 2I, т.к. 2 = 2¹, то I = 1 бит.

Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит.

Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, т.е. в каждом разряде числа возможны восемь вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

8 = 2I, т.к. 8 = 2³, то I = 3 бит.

Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней левой группе окажется меньше, чем три разряда, то необходимо ее дополнить слева нулями.

Переведем таким способом двоичное число 101001₂ в восьмеричное:

101 001₂ =1×2⁵+0×2⁴+1×2³+0×2² +0×2¹+1×2⁰ =51₈.

Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры.

Для перевода дробного двоичного числа в восьмеричное необходимо разбить его на триады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше разрядов, дополнить ее справа нулями. Далее, необходимо триады заменить на восьмеричные числа.

Например, преобразуем дробное двоичное число А2 = = 0,110101₂ в восьмеричную систему счисления:

Получаем А₈ = 0,65₈.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, т.е. в каждом разряде числа возможны шестнадцать вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

16 = 2^I, т.к. 16 = 2⁴, то I = 4 бит.

Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше разрядов, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше, чем четыре разряда, то необходимо ее дополнить справа нулями.

Затем необходимо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

Переведем целое двоичное число А2 = 101001₂ в шестнадцатеричное:

В результате имеем А16 = 29₁₆.

Переведем дробное двоичное число А2 = 0,110101₂ в шестнадцатеричную систему счисления:

Получаем А16 = 0,D4₁₆.

Для того чтобы преобразовать любое двоичное число в восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления, необходимо произвести преобразования по рассмотренным выше алгоритмам отдельно для его целой и дробной частей.

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную. Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную необходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных чисел. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных разрядов (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа - в группу из четырех разрядов (тетраду).

Например, преобразуем дробное восьмеричное число А₈ = 0,47₈ в двоичную систему счисления:

Получаем А₂ = 0,100111₂.

Переведем целое шестнадцатеричное число А₁₆ = AB₁₆ двоичную систему счисления: