Системы счисления

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе числа записываются с помощью десяти всем хорошо известных цифр; О, 1, 2 и т. д.

Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит.

Римская непозиционная система счисления. Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр в римской системе используются: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000).

Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе XXX (30) цифра X встречается трижды и, в каждом случае, обозначает одну и ту же величину — число 10, три раза по 10 в сумме дают 30.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа — прибавляется. Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом: МСМХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Позиционные системы счисления. Первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, т.е. в ней использовалось шестьдесят цифр! Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 часе — 60 минут).

В девятнадцатом веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и т.д.

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.

Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание.

В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов числа.

Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, так называемых арабских, цифр и имеет основание, равное 10, двоичная — две цифры и основание 2, восьмеричная — восемь цифр и основание 8, шестнадцатеричная — шестнадцать цифр (в качестве цифр используются и буквы латинского алфавита) и основание 16.

Таблица 2.2. Позиционные системы счисления

Система счисления	Основание	Алфавит цифр
Десятичная		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная		0, 1
Восьмеричная		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)

Десятичная система счисления. Наиболее распространенной позиционной системой счисления является десятичная система. Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается трижды, причем самая правая обозначает пять единиц, вторая справа — пять десятков и, наконец, третья — пять сотен.

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. Например, в десятичной системе крайняя справа позиция соответствует первому разряду, в котором цифра обозначает единицы. Цифра, смещенная на одну позицию влево, обозначает десятки, еще левее — сотни, затем тысячи и т. д.

Число 555 записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.

В развернутой форме записи числа такое умножение производится в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:

555₁₀ = 5×10² + 5×10¹ + 5×10°.

Как видно из примера, число в позиционных системах счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме будет записываться следующим образом:

555,55₁₀=5×10²+5×10¹+5×10⁰+5×10^-1+5×10^-2.

В общем случае в десятичной системе запись числа А₁₀, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, производится следующим образом:

A₁₀=a_n-1×10^n-1+…+ a₀×10⁰+ a_-1×10^-1+…+ a_-m×10^-m.

Коэффициенты a_i в этой записи являются цифрами десятичного числа, которое в свернутой форме записывается следующим образом:

A₁₀=a_n-1a_n-2 a_-0,a_-1 …a_-m×.

Из вышеприведенных формул видно, что умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например:

555,55₁₀ • 10 = 5555,5₁₀,

555,55₁₀: 10 = 55,555₁₀.

Двоичная система счисления. В двоичной системе основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

Например, развернутая запись двоичного числа выглядит следующим образом:

А2 = 1×2² + 0×2¹ + 1×2° + 0×2^-1 + 1×2^-2,

а в свернутой форме:

A2 = 101,01₂.

В общем случае в двоичной системе запись числа А2, которое содержит п целых разрядов числа и т дробных разрядов числа, производится следующим образом:

A₂=a_n-1×2^n-1+ a_n-2×2^n-2+…+ a₀×2⁰+ a_-1×2^-1+…+ a_-m×2^-m.

Коэффициенты а_i в этой записи являются цифрами (0 или 1) двоичного числа, которое в свернутой форме записывается следующим образом:

A₂=a_n-1a_n-2 a_-0,a_-1 …a_-m×.

Из вышеприведенных формул видно, что умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например: 101,01₂ • 2 = 1010,1₂, 101,01₂: 2 = 10,101₂.

Позиционные системы с произвольным основанием. Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2. В системах счисления с основанием q (q-ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, q-1.

В развернутой форме число в системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) записывается следующим образом:

A_q=a_n-1×q^n-1+ a_n-2×q^n-2+…+ a₀×q⁰+ a_-1×q^-1+…+ a_-m×q^-m.

Коэффициенты а_i в этой записи являются цифрами числа, записанного в q-ичной системе счисления.

Так, в восьмеричной системе основание равно восьми (2=8), тогда записанное в свернутой форме восьмеричное число А₈ = 673,2₈ в развернутой форме будет иметь вид:

А₈ = 6×8² + 7×8¹ + 3×8° + 2×8^-1.

В шестнадцатеричной системе основание равно шестнад­цати (q= 16), тогда записанное в свернутой форме шестнадцатеричное число A₁₆ = 8А,F₁₆ в развернутой форме будет иметь вид:

А₁₆ = 8×16¹ + А×16°+ F×16^-1.

Если выразить шестнадцатеричные цифры через их десяти­чные значения (А = 10, F = 15), то запись числа примет вид:

А₁₆ = 8×16¹ + 10×16°+ 15×16^-1.