Реферат

НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ

Для заданной стальной ( МПа) статически неопределимой рамы:

1) Определить степень статической неопределимости;

2) Выбрать основную и эквивалентную систему;

3) Построить грузовую эпюру;

4) Построить единичные эпюры

5) Определить единичные и грузовые коэффициенты;

6) Определить неизвестные системы канонических уравнений метода сил;

7) Построить эпюру изгибающих моментов;

8) Сделать проверку правильности раскрытия статической неопределимости;

9) Построить эпюры поперечных и продольных сил;

10) Сделать проверку правильности построения эпюр;

11) Подобрать двутавровое поперечное сечение рамы из условия прочности;

12) Определить линейное и угловое перемещение точки К.

РЕФЕРАТ

Цель задачи – отработка навыков расчета статически неопределимых изгибных систем методом сил, в том числе: определения степени статической неопределимости, выбора рациональной основной и эквивалентных систем, построения единичных и грузовых эпюр, определения единичных и грузовых коэффициентов системы канонических уравнений метода сил, раскрытия статической неопределимости и проверки правильности полученного решения, определения перемещений в статически неопределимых системах.

Ключевые слова: метод сил, кинематический анализ, степень статической неопределимости, уравнения совместности деформаций, условия совместности деформаций, основная система, эквивалентная система, единичные и грузовые эпюры, канонические уравнения метода сил, единичные и грузовые коэффициенты, принцип суперпозиции.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

1. Определяем степень статической неопределимости заданной рамы.

Степень статической неопределимости S деформируемой системы отражает количество дополнительных уравнений совместности деформаций, необходимых для решения статически неопределимой системы, и определяется на основе кинематического анализа. При раскрытии статической неопределимости методом сил степень статической неопределимости отражает число уравнений в системе канонических уравнений. В курсе строительной механики степень статической неопределимости определяется при помощи формулы Чебышева. Для изгибных систем, которые рассматриваются в курсе сопротивления материалов, S можно определить по формуле

, (1)

где – число неизвестных (внутренних или внешних связей), – число независимых уравнений равновесия, – число одиночных внутренних рассекающих шарниров.

Для заданной рамы (рис.1):

(V _A, V _K, V _C, M _A, H _C), =3 (Σ x = 0, Σ y = 0, Σ M = 0), = 0.

Тогда степень статической неопределимости будет равна:

.

Таким образом, для расчета заданной рамы (рис.1) методом сил необходимо составить и решить систему двух канонических уравнений:

(2)

2. Выбираем основную и эквивалентную систему.

2.1. Выбираем основную систему.

При решении статически неопределимых задач методом сил расчет ведется в основной системе – статически определимой системе, полученной из заданной путем отбрасывания лишних внешних или внутренних связей. Отбрасывание лишних внешних связей уменьшает число неизвестных п, отбрасывание лишних внутренних связей увеличивает число независимых уравнений равновесия т. В обоих случаях за счет отбрасывания лишних связей степень статической неопределимости S выбранной основной системы согласно (1) должна быть равна нулю. Для заданной рамы (рис.1) необходимо отбросить две связи. Выберем основную систему, отбросив одну внешнюю связь (заделку в точке А) и одну внутреннюю связь, вставив рассекающий шарнир в точке В (рис.2).

Для выбранной основной системы (рис.2) , =3, =1. Согласно (1) степень статической неопределимости равна . Следовательно, выбранная основная система является статически определимой.

2.2. Выбираем эквивалентную систему.

Эквивалентная система – это основная система, загруженная заданной внешней нагрузкой и неизвестными усилиями Х_i в отброшенных внешних и внутренних связях (рис.3). Название эквивалентной системы предполагает, что она полностью идентична заданной расчетной системе (рис.1). Это возможно лишь в том случае, если:

а) неизвестные Х_i равны по величине действительным значениям реакций в отброшенных связях – Х_i = М _Аи , где М _А – реактивный момент в заделке А, – внутренний изгибающий момент в точке В;

б) угол поворота сечения рамы в точке А равен нулю и взаимный угол поворота сечений рамы ниже и правее точки В равен нулю.

Последнее условие отражает физический смысл канонических уравнений метода сил – перемещения в направлении отброшенных внешних (абсолютные перемещения) или внутренних (взаимные перемещения) связей должны быть равны нулю. В данной задаче это:

(3)

3. Строим грузовую эпюру.

Грузовая эпюра – это эпюра изгибающих моментов в основной системе от действия внешней нагрузки. Нагружение основной системы внешней нагрузкой называется грузовым состоянием (рис.4).

3.1. Определяем опорные реакции в грузовом состоянии Р (рис.4):

кН,

,

кН,

кН.

Полученные значения реакции заносим в табл.1.

Таблица 1

	Р			Σ
V A	– 40	– 1/6	1/6	8,461
V B		1/6	– 1/2	– 26,409
V C			1/3	97,949
H C

3.2. Записываем уравнения изменения изгибающих моментов в грузовом состоянии для каждого участка рамы:

Участок I ( м, слева)

Участок II ( м, слева)

Участок III ( м, сверху)

Участок IV ( м, справа)

3. 3. Строим грузовую эпюру М_Р (рис.5).

4. Строим единичные эпюры.

Единичные эпюры – это эпюры изгибающих моментов в основной системе от действия единичных нагрузок (единичной силы или единичного изгибающего момента), приложенных в направлении отброшенных внутренних или внешних связей. Нагружение основной системы единичной нагрузкой называется единичным состоянием.

4.1. Определяем опорные реакции в первом единичном состоянии (рис.6):

,

,

,

.

Полученные значения реакции заносим в табл.1.

4.2. Записываем уравнения изменения изгибающих моментов в первом единичном состоянии для каждого участка рамы:

Участок I ( м, слева)

Участок II ( м, слева)

Участок III ( м, сверху)

Участок IV ( м, справа)

4.3. Строим первую единичную эпюру М ₁ (рис.7).

Примечание: единичные эпюры обладают следующими свойствами:

а) они всегда прямолинейны;

б) в силу этого они не заштриховываются (поскольку требуемое значение момента всегда можно найти из линейной зависимости);

в) допускается совмещение единичного состояния и единичной эпюры на одном рисунке.

В случае совмещения с единичным состоянием первая единичная эпюра будет иметь вид (рис.8).

Для построения второй единичной эпюры используем такой же подход совмещения единичного состояния и единичной эпюры (рис.9).

4.4. Определяем опорные реакции во втором единичном состоянии:

,

,

,

.

Полученные значения реакции заносим в табл.1.

4.5. Записываем уравнения изменения изгибающих моментов во втором единичном состоянии для каждого участка рамы:

Участок I ( м, слева)

Участок II ( м, слева)

Участок III ( м, сверху)

Участок IV ( м, справа)

4.6. Строим вторую единичную эпюру М ₂ (рис.9).

5. Определяем грузовые и единичные коэффициенты системы канонических уравнений метода сил (1).

Грузовые коэффициенты представляют собой перемещения в направлении -й отброшенной связи от действия внешней нагрузки. Единичные коэффициенты представляют собой перемещения в направлении -й отброшенной связи от действия единичной нагрузки, приложенной в направлении -й отброшенной связи. Поскольку в определении всех коэффициентов присутствуют единичные нагрузки, эти перемещения удобно определять по методу Мора или по правилу Верещагина, перемножая эпюры с соответствующими индексами. Например, для определения коэффициента необходимо перемножить по правилу Верещагина единичные эпюры М ₁ и М ₂.

;

;

;

;

;

.

6. Определяем неизвестные системы канонических уравнений.

После подстановки грузовых и единичных коэффициентов система канонических уравнений метода сил (1) принимает вид:

Ее решениями будут: кН·м, кН·м.

7. Строим эпюру изгибающих моментов М.

Эпюру изгибающих моментов в статически неопределимой системе можно построить двумя способами:

а) используя принцип суперпозиции, сложить эпюры изгибающих моментов для напряженных состояний рамы в основной системе от внешней нагрузки (грузовая эпюра М_Р, рис.5) и от действительных значений усилий Х_i в отброшенных внешних и внутренних связях (эпюры );

б) используя метод сечений, определив предварительно значения всех неизвестных опорных реакций.

Поскольку значения опорных реакций еще неизвестны, построим эпюру изгибающих моментов М, используя принцип суперпозиции.

Для этого необходимо построить эпюры изгибающих моментов и от действия действительных значений усилий кН·м и кН·м в отброшенных связях. Поскольку уже имеются эпюры изгибающих моментов от действия единичных значений этих усилий (единичные эпюры М ₁, рис.8и М ₂, рис.9), требуемые эпюры можно легко получить, перемножив все значения на эпюрах М ₁ и М ₂ на найденные значения и . Поэтому полученные эпюры (рис.10 и рис.11) принято называть перемноженными единичными эпюрами соответственно и .

Тогда эпюру изгибающих моментов М можно найти как сумму следующих эпюр

. (4)

Сложение эпюр заключается в алгебраическом суммировании значений изгибающих моментов в каждом сечении рамы. Однако, зная характер изменения изгибающих моментов в пределах каждого участка, можно ограничиться вычислением значений только в начале и конце каждого участка и, если нужно, в точках экстремумов. Так, например, значение изгибающего момента в конце первого участка можно найти в виде

кН.

Соединять найденные граничные значения изгибающих моментов в пределах каждого участка необходимо с учетом максимального ранга математического выражения изменения составляющих (4) для этого участка. Так, изгибающий момент на первом, втором и четвертом участке будет изменяться по линейному закону, а на третьем участке – по закону квадратной параболе (рис.12).

8. Делаем проверку правильности раскрытия статической неопределимости.

Согласно (3) и . По правилу Верещагина эти перемещения можно найти, перемножив эпюру М на эпюры М ₁ и М ₂:

,

Тогда условиями правильности раскрытия статической неопределимости будут:

;

.

Физический смысл этих условий заключается в следующем – перемещения (абсолютные или взаимные) в направлении отброшенных связей (внешних или внутренних) тождественно равны нулю.

Раскрывая эти условия, получаем:

,

.

Следовательно, статическая неопределимость раскрыта правильно.

9. Строим эпюры поперечных и поперечных сил.

9.1. Используя принцип суперпозиции, определяем значения опорных реакций в статически неопределимой раме в виде суммы значений опорных реакций для напряженных состояний рамы в основной системе от действия внешней нагрузки и от действительных значений усилий Х_i в отброшенных внешних и внутренних связях:

кН;

кН,

кН,

кН.

Полученные значения опорных реакций заносим в табл.1.

9.2. Показываем общее силовое нагружение рамы с учетом внешней нагрузки и действительных значений опорных реакций (рис.13).

9.3. Записываем уравнения изменения изгибающих моментов, поперечных и продольных сил для каждого участка рамы (рис.13):

Участок I ( м, слева)

;

; .

Участок II ( м, слева)

;

; .

Участок III ( м, сверху)

;

; .

Участок IV ( м, справа)

;

; .

9.4. Строим эпюры изгибающих моментов М (рис.14), продольных (рис.15) и поперечных сил (рис.16).

10. Делаем проверку правильности построения эпюр.

Правильность построения эпюр изгибающих моментов, продольных и поперечных сил проверяем по следующим признакам:

а) эпюры изгибающих моментов, построенные по принципу суперпозиции и методом сечений должны быть идентичны;

б) в узловых точках рамы должны выполняться условия равновесия от действия всех внешних нагрузок и внутренних усилий.

10.1. Проверяем идентичность эпюр изгибающих моментов.

Сравнивая эпюры изгибающих моментов М, построенные по принципу суперпозиции (рис.12) и методом сечений (рис.14), можно заметить, что они полностью идентичны по форме, а все аналогичные значения на них различаются в пределах погрешности от округления при вычислении значений с пятью значащими цифрами.

10.2. Проверяем равновесие узловых точек.

Заданная рама имеет две узловые точки (точки излома продольной оси). Это точки В и К (рис.13). Последовательно вырезаем эти узлы бесконечно близкими сечениями из расчетной схемы (рис.13) вместе с действующей в этих точках сосредоточенной внешней активной и реактивной нагрузкой и из всех эпюр (рис.14-16) вместе с действующими в этих сечениях внутренними усилиями.

Проверяем равновесие узла К:

нет нагрузок,

97,949 – 71,539 – 26,409 ≈ 0,

97,949 – 97,949 = 0.

Равновесие узла К выполняются.

Проверяем равновесие узла В:

240 – 240 = 0,

97,949 – 97,949 = 0,

293,847 – 293,847 = 0.

Равновесие узла В выполняются.

11. Подбираем двутавровое поперечное сечение из условия прочности.

Условием прочности при изгибе является

.

Минимальное значение момента сопротивления поперечного сечения рамы будет определяться зависимостью

.

Максимальное (по модулю) значение изгибающего момента из эпюры М (рис.14) будет равно кН·м. Тогда

м³=1836,5см³.

Согласно ГОСТ 8239-72 выбираем двутавр №55, для которого см³, см⁴.

12. Определяем линейное и угловое перемещение точки К.

Поперечное сечение заданной рамы (рис.13) в точке К может испытывать горизонтальное и угловое перемещение. Вертикальному перемещению рамы в точке К препятствует шарнирная опора. Неизвестные перемещения можно определить по правилу Верещагина. Для этого необходимо в любой статически определимой основной системе заданной рамы приложить в точке К единичные нагрузки (единичную силу для определения горизонтального и единичный момент для определения углового перемещения) и полученные от действия этих нагрузок единичные эпюры перемножить на эпюру М (рис.14). Для этого можно использовать ранее выбранную основную систему (рис.2), однако это правило не обязательно. Можно также использовать любую основную систему, удобную для вычисления перемещений.

12.1. Горизонтальное перемещение точки К (рис.19).

м = – 14,35мм.

12.2. Угол поворота сечения в точке К (рис.20).

рад.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Какие существуют методы решения статически неопределимых задач при изгибе?

2. Какие основные преимущества и недостатки метода сил при решении статически неопределимых задач при изгибе?

3. В чем заключается принцип суперпозиции? В каких случаях его применение является обоснованным?

4. В чем заключается кинематический анализ деформируемой системы?

5. Что такое степень статической неопределимости статически неопределимой системы? По какой формуле она определяется?

6. Что такое основная система?

7. Что такое эквивалентная система?

8. Что такое грузовое состояние?

9. Что такое единичное состояние?

10. Что такое грузовая эпюра?

11. Что такое единичная эпюра?

12. Какой вид имеет каноническое уравнение метода сил для один раз статически неопределимой задачи?

13. Какой вид имеет каноническое уравнение метода сил для п раз статически неопределимой задачи?

14. Какой физический смысл канонических уравнений метода сил?

15. Какой физический смысл единичных коэффициентов системы канонических уравнений метода сил?

16. Какой физический смысл грузовых коэффициентов системы канонических уравнений метода сил?

17. Как проверяется правильность раскрытия статической неопределимости?

18. Что такое перемноженные единичные эпюры?

19. Как определяются опорные реакции в статически неопределимых системах?

20. Как строятся эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в статически неопределимых системах?

21. Как строятся эпюры изгибающих моментов в статически неопределимых системах?

22. Как определяются перемещения сечений в статически неопределимых системах?