Непрерывность отображения. Непрерывность числовой функции одной переменной, нескольких переменных.
Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и в некоторой окрестности
этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если
существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой
точке:
Это означает:
- функция определена в точке х0 и в ее окрестности;
- функция имеет предел при х→х0
- предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке, т.е.
выполняется равенство.
Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти
к пределу под знаком функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х
подставить предельное значение х0
Непрерывная функция — это непрерывное отображение, которое определено для числовых пространств.
Непрерывная числовая функция.
Положим, . (Вместо R, также допустимо использовать C.)
Функция f непрерывна в точке a, если для любого числа ε>0 найдётся такое число δ>0, что для всех точек условие влечет .
|
|
Или:
.
Если точка — предельная точка для множества , то имеет смысл говорить о пределе функции в данной точке .
Другими словами, функция непрерывна в точке , предельной для множества , если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:
Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества.
В этом случае говорят, что функция класса и пишут: или, подробнее, .
Неприрывное отображение из Rm в Rn
Обобщая одномерный случай, функция называется непрерывной в точке если
где
— евклидова норма в