Теоремы о непрерывности и дифференцируемости сложной функции

Ние. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных. Скалярное поле. Градиент и его связь с производной поля по направлению

Если даны функции

то можно образовать сложную функцию При этом областью определения сложной функции будет множество таких что выражение имеет смысл. Мы будем рассматривать в основном сложные функции вида и. Все утверждения, сформулированные для таких функций, очевидным образом переносятся и на общие типы сложных функций.

Теорема 1. Пусть сложная функция определена в точке и некоторой ее окрестности и пусть выполнены условия: а) функции непрерывны в точке б) функция непрервына в соответствующей точке

Тогда сложная функция непрерывна в точке

Теорема 2. Пусть сложная функция определена в точке и некоторой ее окрестности и пусть выполнены условия: а) функции дифференцируемы в точке б) функция дифференцируема в соответствующей точке Тогда сложная функция дифференцируема в точке и имеют место равенства

В случае, когда внутренние функции зависят от одной переменной, сложная функция является также функцией одной переменной; при этом

Доказательство проведем для второго случая. Так как функция дифференци-

руема в точке то имеет место представление

С другой стороны, так как функции дифференцируемы в рассматриваемой точке то имеют место асимптотические разложения

Подставляя это в (3) (при этом учитываем, что при приращения также стремятся к нулю, а значит,), будем иметь

Это означает, что функция дифференцируема в точке и что имеет место равенство (2). Теорема доказана.

Например, если то поэтому

Аналогично вычисляем

2. Неявная функция и её дифференцирование

Рассмотрим уравнение в области

Определение 1. Говорят, что уравнение задаёт в области функцию неявно, если для каждого фиксированного уравнение имеет единственное решение Тогда функция каждому ставит в соответствие решение этого уравнения (т.е.).

Ясно, что если неявная функция существует, то имеет место тождество

При этом часто в явном виде функцию получить невозможно. Например, уравнение определяет в окрестности каждой фиксированной точки некоторую функцию. Однако найти эту функцию в явном виде не представляется возможным.

Обращаем также внимание на то, что неявная функция существенно связана с областью В одной из областей для одного и того же уравнения неявная функция может существовать, в другой – нет. Например, уравнение в области задаёт функцию неявно, а в области оно не задаёт никакой неявной функции так как в этой области указанное уравнение имеет два решения для каждого

Теорема 3 (о существовании неявной функции). Пусть выполнены условия:

1) точка является решением уравнения (т.е.)

2) в некотором прямоугольнике функция и её частные производные непрерывны; 3)

Тогда существует прямоугольник такой, что в этом прямоугольнике уравнение определяет некоторую функцию неявным образом, причём Кроме того, функция является непрерывно дифференцируемой в интервале и имеет место равенство

Например, указанное выше уравнение определяет в окрестности каждой фиксиро-

ванной точки некоторую функцию так как при таких

частная производная Производную этой функции вычисляем по формуле (4): где удовлетворяет уравнению.

Аналогично определяются функции двух и бо̀льшего числа переменных, заданные неявно. Приведем формулировку теоремы о существовании неявной функции двух переменных.

Теорема 4. Пусть выполнены условия:

1) точка является решением уравнения (т.е.)

2) в некоторой области функция и её частные производные непрерывны; 3)

Тогда существует область

такая, что в этой области уравнение определяет некоторую функцию неявным образом, причём Кроме того, функция имеет в прямоугольнике непрерывные частные производные, которые вычисляются по формулам

Например, для функции заданной неявно уравнением по формулам (5) находим

где удовлетворяет уравнению