Элементы теории функции комплексного переменнолго

Функции комплексного переменного

Пусть комплексное переменное z = x + yi принимает всевозможные значения из некоторого множества Z.

Если каждому значению z из Z можно поставить в соответствие одно или несколько значений другого комплексного переменного w = u + vi, то комплексное переменное w называют функцией от z в области Z и пишут w = f (z).

Функция w = f (z) называется однозначной, если каждому значению z из множества Z можно поставить в соответствие только одно значение w. Если же существуют значения z, каждому из которых можно поставить в соответствие несколько значений w, то функция w = f (z) называется многозначной.

Если w = u + vi есть функция от z = x + yi, то каждое из переменных u и v является действительной функцией от х и у, т.е. w = u (х, у) + v (х, у) i.

Однозначная функция w = f (z) при z → с имеет конечный предел С (с и С – комплексные числа), если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдётся такое число δ > 0, что из неравенства | z – c | < δ следует неравенство | f (z) – С | < ε.

В этом случае пишут

= С.

Функция w = f (z) называется непрерывной в точке z ₀, если = f (z ₀). Функция, непрерывная в любой точке некоторой области D называется непрерывной в этой области.

Область D, ограниченная замкнутой не самопересекающейся линией Г, называется односвязной.

Если же область D, ограничена двумя замкнутыми не пересекающимися и не самопересекающимися линиями Г ₁ и Г ₂, то область D называется двусвязной и т.д.

Функции комплексного переменного е^z, , , , определяются как суммы следующих рядов, сходящихся во всей плоскости комплексного переменного:

е^z = 1 + + + + …,

= − + − …,

= 1 − + − + …,

= = + + + …,

= = 1 + + + + ….

Для функции комплексного переменного справедлива формула Эйлера:

е^zi = + i .

Из этой формулы следуют следующие формулы:

= , = .

Отметим ещё две формулы:

= i , = .

Известные из элементарной математики формулы справедливы и для комплексных значений аргументов z ₁ и z ₂:

∙= , = ,

= ± ,

= .

Функции , , , , определяются как обратные по отношению соответственно к функциям , , , , . При этом функции , , , , являются многозначными.

Можно показать, что

где и .

Пример. Дана функция . Найти значение функции при .

□ Имеем = = = . ■

Пример. Дана функция , где . Найти .

□ Имеем , Следовательно, = . ■

Пример. Найти .

□ Имеем , = 2, = , т.е.

= . ■

Пример. Вычислить с точностью .

□ Так как

= 1 − + − + …,

то

= 1 + + + + … .

Три знака после запятой гарантированы. ■

Производная функции комплексного переменного

Производной однозначной функции комплексного переменного w = f (z) называется предел

==.

Функция, имеющая производную при данном значении z, называется дифференцируемой (моногенной) при этом значении z.

Если функция w = f (z) однозначна и имеет конечную производную в каждой точке области D, то она называется аналитической в этой области D.

Если функция w = f (z) = u (х, у) + v (х, у) i дифференцируема в точке z = x + yi, то в этой точке существуют частные производные , , , , причем эти производные связаны условиями

= , = − ,

которые называются условиями Коши−Римана.

Условия Коши – Римана являются необходимыми условиями дифференцируемости функции w = f (z) в точке z = x + yi.

Обратно, если частные производные , , , непрерывны в точке z = x + yi и условия Коши – Римана = , = − выполнены, то функция w = f (z) дифференцируема в точке z = x + yi.

Производная функции f (z) выражается через частные производные функций u (х, у) и v (х, у) по формулам:

= + i = − i = − i = + i .

Производные элементарных функций zⁿ, е^z, , , , , , , , , находятся по тем же формулам, что и для действительного аргумента. Отметим только, что

, .

Пример. Дифференцируема ли функция f (z) = у + хi?

□ Имеем и = у, v = x. Проверим выполнения условий Коши – Римана = , = − . Находим = 0, = 1, = 1, = 0, Видно, что = , но − . Следовательно, данная функция не является дифференцируемой. ■

Пример. Дифференцируема ли функция f (z) = ?

□ Имеем и = , v = , = 2 х, = − 2 у, = 2 у, = 2 х. Условия Коши – Римана = , = − выполняются. Следовательно, функция дифференцируема. Так как + i , то

2 х + 2 уi = .

Производную можно было найти иначе:

, . ■

Пример. Дана действительная часть дифференцируемой функции , где z = x + yi. Найти функцию .

□ Имеем = 2 х – 1. Так как = (одно из условий Коши – Римана), то = 2 х – 1. Интегрируя, находим

где произвольная функция.

Используем второе условие Коши – Римана: = − . Так как = , то =. Но из условия задачи находим, что = . Следовательно,

= , , .

Тогда

= =

или

= , т.е. = . ■

Интеграл от функции комплексного переменного

Кривая Г называется гладкой, если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.

Кривая называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа гладких дуг.

Пусть дана функция комплексного переменного w = f (z), непрерывная в некоторой области D. Пусть Г – произвольная гладкая кривая, лежащая в области D. Рассмотрим дугу кривой с началом в точке z ₀ и концом в точке z. Разделим эту дугу на п частей произвольными точками z ₀, z ₁, z ₂, …, , z_п = z, расположенными последовательно на линии Г.

Составим сумму

где . Пусть − наибольшая из величин . Если , то и сумма стремится к определенному пределу. Этот предел называется интегралом функции f (z) по дуге кривой Г, заключенной между точками z ₀ и z, т.е.

Если f (z) = u (х, у) + i v (х, у), то сводится к двум криволинейным интегралам от действительных функций:

= − v (х, у) dy + i + u (х, у) dy.

Пусть Г – кусочно-гладкая функция, состоящая из гладких частей Г ₁, Г ₂, …, Г_т. Тогда

= … +.

Если f (z) – аналитическая функция в односвязной области D, то значение интеграла , взятого вдоль произвольной кусочно-гладкой линии Г, принадлежащей области D, не зависит от линии Г, а определяется лишь положениями начальной и конечной точек этой линии.

Теорема Коши. Для всякой аналитической функции f (z) в некоторой односвязной области D интеграл , взятый по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру , лежащему в области D, равен нулю.

Так же как и для действительных функций, справедлива формула

(формула Ньютона – Лейбница), где Ф (z) – какая-нибудь первообразная функция по отношению к f (z).

Для нахождения первообразной функции по отношению к аналитической функции f (z) применяются обычные формулы интегрирования.

Рассмотрим п + 1 замкнутых кусочно-гладких линий …, таких, что каждая из линий …, лежит вне остальных и все они расположены внутри . Множество точек, лежащих одновременно внутри и вне …, , представляет собой (п + 1)-связную область D.

Пусть f (z) – аналитическая функция в области D (включая значения на контурах …, ). Тогда

= … +.

Пример. Вычислить интеграл

где , АВ – отрезок прямой, соединяющий точки , .

□ Имеем , . Отсюда

= −

= .

Интеграл можно найти по-другому. Видно, что (

=). Тогда

. ■

Пример. Вычислить интеграл

□ Подынтегральная функция аналитическая. Используя формулу Ньютона – Лейбница, получим

= . ■

Ряды Тейлора и Лорана

Пусть дана функция , аналитическая в некоторой окрестности точки а.

Ряд

…

называе5тся рядом Тейлора функции и внутри своего круга сходимости выражает функцию , т.е.

= ….

Если а = 0, то

= ….

В этом случае говорят, что функция разложена в ряд Маклорена.

Рассмотрим два ряда

… (1)

…. (2)

Область сходимости ряда (1) (если она существует) определяется неравенством . Если существует область сходимости ряда (2), то она определяется неравенством . Тогда при условии r < R для ряда

+ …

областью сходимости служит кольцо , ограниченное концентрическими окружностями с центром в точке а и радиусами r и R.

Пусть − однозначная и аналитическая функция в кольце . Эта функция в указанном кольце может быть представлена в виде

+ ….

Ряд в правой части равенства называется рядом Лорана функции . Коэффициенты этого ряда можно вычислить по формуле

Ряд (1) называется главной частью ряда Лорана, а ряд (2) – правильной частью ряда Лорана.

Особые точки. Если функция − аналитическая функция в окрестности точки а, то характер этой точки определяется по виду разложения функции в ряд Лорана в окрестности точки а следующим образом:

1). Если ряд Лорана не содержит главной части. Тогда имеем устранимую особую точку а. В этом случае существует конечный предел .

2). Если ряд Лорана содержит конечное число п членов главной части, то точка а является полюсом п - го порядка. В этом случае − аналитическая функция в окрестности точки а и стремится к бесконечности при .

3). Если ряд Лорана содержит бесконечное число членов главной части, то точка а является существенно особой точкой. В этом случае при функция не имеет предела, т.е. предел не существует.

В случаях 2) и 3) коэффициент в ряде Лорана называется вычетом функции в точке .

Между нулем и полюсом функции существует связь. Если − ноль кратности k функции , то − полюс того же порядка функции ; обратно, если − полюс порядка k функции , то − ноль функции .

Следует отметить, что если , то − полюс порядка k функции .

Пример. Разложить в ряд Тейлора по степеням бинома функцию =

□ Находим производные функции = : ,, ,

f ^І^V, f ^V, f ^V^І f ^V^ІІ…=0.

Определяем значения производных в точке : = , , , , f ^І^V, f ^V.

Отсюда

= .

Рядом Тейлора функции = является многочлен пятой степени. ■

Пример. Разложить в ряд Лорана по степеням функцию = в окрестности точки ,

□ Представим данную функцию в виде

= .

В окрестности точки выполняется неравенство , поэтому дробь можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и = и знаменателем . Отсюда получаем

или .

Это разложение содержит только правильную часть. Из неравенства следует, что областью сходимости ряда является круг . ■

Пример. Разложить в ряд Лорана функцию = в по степеням .

□ Положим = . Тогда

= = ,

т.е.

= .

Здесь главная часть содержит два члена, а правильная – три члена. Так как разложение содержит конечное число членов, то оно справедливо для любой точки плоскости, кроме . Эта точка является полюсом второго порядка функции . Вычетом этой функции относительно полюса является коэффициент при , т.е. 32. ■

Вычисление вычетов функции. Применение вычетов к вычислению интегралов

Пусть а – полюс п -го порядка функции . Вычет функции относительно ее полюса п -го порядка вычисляется по формуле

Если а – полюс первого порядка (простой полюс) функции , то

Если функция =, где , а имеет простой ноль при , то является простым полюсом и справедлива формула

Теорема (основная теорема о вычетах). Пусть − аналитическая функция в замкнутой области D, кроме конечного числа особых точек а ₁, а ₂, а ₃, …, а_k (полюсов или существенно особых точек). Тогда интеграл от функции по контуру , содержащему внутри себя эти точки и целиком лежащему в области D, равен произведению 2 на сумму вычетов в указанных особых точках, т.е.

Частный случай. Пусть − аналитическая функция в замкнутой области D, число а принадлежит области D и . В этом случае функция имеет в области D полюс а первого порядка. Найдем вычет функции относительно полюса а:

Отсюда, применяя основную теорему о вычетах, получим

или

− формула Коши.

Пусть − аналитическая функция в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа полюсов , расположенных над действительной осью. Кроме того, предполагается, что произведение при имеет конечный предел. В этом случае для вычисления определенного интеграла функции действительного переменного применяется формула