Расчет ступенчатого вала

Для заданной схемы нагружения вала (рис. 1) требуется:

1) подобрать диаметры в сечениях 1-1, 2-2, 3-3, 4-4 по 3-й теории прочности, полагая левую опору шарнирно-неподвижной, а правую шарнирно-подвижной;

2) начертить ступенчатый вал с указанием диаметров и длин участков;

3) вычислить прогибы υ, w и построить изогнутую ось вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях;

4) вычислить суммарный прогиб ƒ и проверить жесткость вала, если ƒ_adm=0,01L, где L – полная длина вала.

Рис. 1

I. Построение эпюры крутящих моментов M_x

Участок 1 0 ≤ x₁ ≤ 40 M_x=0

Участок 2 0 ≤ x₂ ≤ 100 M_x=F₅·10=8·10=80 (кН·см)

II. Построение эпюры изгибающих моментов в вертикальной плоскости.

а) Определяем реакции в опорах:

∑ M_А=0 | –F₁·40–F₄·10+F₂·60+ ·100=0

=0,4 кН

∑ M_B=0 | –F₄·10–F₂·40+ ·100–F₁·140=0

=5,4 кН

Проверка: ∑ F_y=0 | –F₁+ – F₂– =0

–3+5,4–2–0,4=0

0=0 Верно.

б) Вал имеет 3 участка.

Уч.1 0 ≤ x₁ ≤ 40 M_z1= – ·x₁ x₁=0 M_z1=0

x₁=40 M_z1= –16 кН·см

Уч.2 0 ≤ x₂ ≤ 40 M_z2= –F₁·x₂ x₂=0 M_z2=0

X₂=40 M_z2= –120 кН·см

Уч.3 40 ≤ x₃ ≤ 100 M_z3= –F₁·x₃+ (x₃-40)

x₃=40 M_z3= –120 кН·см

x₃=100 M_z3= –300 +5,4·60=24 кН·см

III. Построение эпюры изгибающих моментов M_y в горизонтальной плоскости.

а) Определяем реакции в опорах:

∑ M_А=0 | F₃·40+F₅·60– ·100=0 =6,4 кН.

∑ M_B=0 | –F₅·40– ·100+F₃·140=0 =2,4 кН.

Проверка:

Проверка: ∑ F_y=0 | F₃– –F₅+ =0

4–2,4–8+6,4=0

0=0 Верно.

б) Вал имеет 3 участка.

Уч.1 0 ≤ x₁ ≤ 40 M_y1= ·x₁ x₁=0 M_y1=0

x₁=40 M_y1=256 кН·см

Уч.2 0 ≤ x₃ ≤ 40 M_y3=F₃·x₃ x₃=0 M_y3=0

X₃=40 M_y3=160 кН·см

В рассмотрении Уч.3 нет необходимости.

IV. Построение эпюры суммарного изгибающего момента М,

М=

Сечение 1-1 M_z=60 кН·см M_y=80 кН·см

М= =100 кН·см

Сечение 2-2 M_z=120 кН·см M_y=160 кН·см

М= =200 кН·см

Сечение 3-3 =16 кН·см =24 кН·см M_y=256 кН·см

= =256,49 кН·см

= =257,12 кН·см

Сечение 4-4 M_z=8 кН·см M_y=128 кН·см

М= =128,25 кН·см

V. Построение эпюры N.

Вал имеет 3 участка:

Уч.1 0 ≤ x₁ ≤ 40 N₁=0

Уч.2 0 ≤ x₂ ≤ 60 N₂= –F₄= –4 кН

Уч.3 0 ≤ x₃ ≤ 40 N₃=0

VI. Подбор диаметра вала d в заданных сечениях:

Сечение 1-1 M_x=80 кН·см; M=100 кН·см; N=0.

M_red= = =128 кН·см

d ≥ = = =5,46 см, принимаем 5,5 см.

Сечение 2-2 M_x=80 кН·см; M=200 кН·см; N=4 кН.

M_red= =215,4 кН·см

d= =6,5 см, принимаем 6,5 см.

Проверка прочности с учетом продольной силы.

A= см²

W_z= см³

σ = = =7538 Н/см² ≈75,38 МПа

1480 Н/см² ≈14,8 МПа

σ_adm= 80,98 МПа > 80 МПа,

перегрузка не превышает 5%, условие прочности удовлетворяется.

Сечение 3-3 M_x=80 кН·см; M=257 кН·см; N=4 кН.

M_red= =269,2 кН·см

d ≥ = =6,99 см, принимаем 7 см.

Проверка прочности с учетом продольной силы:

A= см²

W_z= см³

σ = = =7752,79 Н/см² ≈77,53 МПа

1190 Н/см² ≈11,9 МПа

σ_adm= 78,44 МПа < 80 МПа,

Сечение 4-4 M_x=0 кН·см; M=128,3 кН·см; N=0; M_red=128,3 кН·см.

d = = =5,47 см, принимаем 5,5 см.

VII. Вычисление прогибов вала.

Разбиваем ось вала равноотстоящими узлами с шагом h=20 см. Дифференциальные уравнения упругой линии вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях в конечно-разностной форме:

υ_i+1–2υ_i+ υ_i-1= ;

W_i+1–2W_i+ W_i-1= ;

Y_zi= Y_yi=

№ узла	d, см	EYz= EYy·107, Н·см2	Mz·10-3, Н·см	My·10-3, Н·см	, см	, см	υi	Wi
	5,5	89,8	-60		-0,0267	0,036	-0,03	0,097
	6,5	175,2	-120		-0,027	0,037
	7,0	235,6	-72		-0,012	0,027	0,004	-0,06
	7,0	235,6	-24		-0,004	0,027	0,006	-0,093
	7,0	235,6			-0,00068	0,027	0,005	-0,099
	5,5	89,8	-8		-0,0036	0,057	0,004	-0,078
	5,5	89,8
							-0,0886	0,23

Составляем систему уравнений:

i=1 υ₂–2υ₁+ υ₀= –0,027

i=2 υ₃–2υ₂+ υ₁= –0,027

i=3 υ₄–2υ₃+ υ₂= –0,012

i=4 υ₅–2υ₄+ υ₃= –0,004

i=5 υ₆–2υ₅– υ₄=0,0007

i=6 υ₇–2υ₆+ υ₅= –0,0036

Решение:

υ₆₌

υ₄=0,0007–0,0018– + = –0,0011

υ₅–2

υ_5– +0,0022+0,004+ υ₃=0

– +0,0062+ υ₃=0;

υ₃= –0,0062

–0,0011–2( –0,0062)=–0,0012

– +0,0124–0,0011+0,0012=0

– +0,0125=0

=0,0125

υ₅= =0,005

υ₄= –0,0011=0,0075–0,0011=0,0064

υ₃= –0,0062=0,0038

υ₂=0

υ₆= +0,0018=0,0043

υ₁= –0,027– υ₃= –0,027–0,0038= –0,0308

υ₀= –0,027+2υ₁= –0,027–0,062= –0,0886

Составляем систему:

i=1 W₂–2W₁+ W₀=0,036

i=2 W₃–2W₂+ W₁=0,037

i=3 W₄–2W₃+ W₂=0,027

i=4 W₅–2W₄+ W₃=0,027

i=5 W₆–2W₅+ W₄=0,027

i=6 W₇–2W₆+ W₅=0,057

W₆= – = –0,0285

–0,0285–2W₅+W₄=0,027

W₄=0,027+0,0285+ – = +0,0555

W₅–2( +0,0555)+ W₃=0,027

W₅–3W₃–0,111+W₃=0,027

W₃=0,027+0,111+2W₅=2W₅+0,138

+0,0555–2(2W₅+0,138)= 0,027

+0,0555–4W₅ –0,276–0,027=0

– =0,2475

W₅= = –0,099

W₆= = –0,078

W₄= = –0,093

W₃= –2·0,099+0,138= –0,06

W₁=0,037–W₃=0,037+0,06=0,097

W₀=0,036+2W₁=0,036+0,194=0,23

Находим суммарный прогиб

f_i=

i=0 =0,247

i=1 =0,1

i=2 0

i=3 =0,06

i=4 =0,09

i=5 =0,099

i=6 =0,078

VIII. Проверка жесткости вала.

Определяю допускаемый прогиб:

ƒ_adm =0,01L=0,01·140=1,4 см

ƒ_max=0,247 см < 1,4 см

Условие жесткости удовлетворяется.