Спектральные характеристики периодических сигналов

4 5 6 7 8 9 10

Лабораторная работа N4

Цель работы вычисление спектров и построение графиков амплитудного и фазового спектров периодического сигнала.

Сведения из теории

Условие периодичности — x(t) = x(t+mT), где T — период, m - натуральное число, m= 1, 2,....

Любой периодический сигнал x(t) может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье

, (1.1)

где — угловая частота 1-й или основной гармоники; — коэффициенты разложения, вычисляемые по формулам:

; ; ; (1.1)

; ,

где — амплитуда k-й гармоники; — фаза k-й гармоники; — среднее значение сигнала (постоянная составляющая); — угловая частота k-й гармоники; — момент времени, соответствующий началу периода.

Зависимости и от частоты — это спектры амплитуд и фаз соответственно.

В некоторых случаях более удобна комплексная форма ряда Фурье

. (1.2)

Коэффициенты ряда (1.2) вычисляются по формуле

. (1.3)

Формулы (1.2) и (1.3) — пара преобразований Фурье. Совокупность коэффициентов — комплексный спектр периодического сигнала x(t). Совокупность действительных величин в зависимости от частоты — спектр амплитуд. Совокупность величин в зависимости от частоты — спектр фаз.

Ряд (1.2) удобно представлять в форме

, (1.4)

где . (1.5)

Типовые примеры

Задача 1.1.. Построить амплитудный спектр периодической последовательности идеальных прямоугольных импульсов z(t), график которой приведен на рис.1.1 на базе тригонометрического ряда Фурье.

Рис.1.1

Ответ. При единице времени одна миллисекунда , номерах гармоник , амплитуде , периоде , частоте 1-й гармоники и k-й гармоники амплитудный спектр

График амплитудного спектра в виде столбчатой диаграммы приведен на рис.1.2.

Рис.1.2

Задача 1.1.4. Найти амплитудный и фазовый спектры сигнала u(t) на выходе однополупериодного выпрямителя на основе комплексного ряда Фурье. График сигнала показан на рис.1.3.

Рис.1.3

Ответ. Амплитудный спектр

Фазовый спектр .

Вычисление коэффициентов ряда Фурье может быть выполнено по формулам (1.1.). Вычисление коэффициентов по этим формулам носит название непрерывного преобразования Фурье (НПФ).

Следует заметить, что даже для функций относительно простого вида интеграл от произведения заданной функции на или редко выражается через элементарные функции.

На практике часто приходится иметь дело с эмпирическими функциями, заданными дискретным рядом точек на конечном интервале. При спектральном анализе функций, заданных таким образом, приходится прибегать к так называемому дискретному преобразованию Фурье (ДПФ), которое сохраняет большинство свойств НПФ, но имеет ряд особенностей, которые будут обсуждены ниже.

Таким образом, задачей практического спектрального анализа является нахождение коэффициентов ряда Фурье функции, заданной в дискретной форме.

Пусть функция задана на некотором временном промежутке в дискретных точках (Рис 1.4)

Определение коэффициентов и для последовательности x(i) численными методами производится по формулам

(1.6)

(1.7)

Переход от коэффициентов и к последовательности осуществляется в соответствии с выражением

, =0,1,…,n-1 (1.8)

Рис. 1.4

В дискретном виде пара преобразования Фурье имеет вид:

(1.9)

(1.10)

где k =0, 1, 2,.., n-1; i =0, 1, 2,.., n-1

Выражение (1.10) решает задачу гармонического анализа, т.е. нахождение комплексных коэффициентов , а следовательно, и . Комплексные коэффициенты в формулах (1.9) и (1.10) связаны с амплитудами и фазами в тригонометрической форме записи ряда Фурье (1.1) следующими соотношениями

С коэффициентами и комплексные коэффициенты связаны формулами:

; ; ;

Трудности практического спектрального анализа состоят в том, что по мере увеличения точек задания временной функции, количество вычислительных операций для нахождения коэффициентов Фурье возрастает нелинейно. Сокращение времени вычисления достигается применением быстрого преобразования Фурье (БПФ). Алгоритм БПФ сейчас реализован практически во всех средствах обработки данных. Подробное описание алгоритма и вычислительной процедуры БПФ имеется в методическом пособии по гармоническому анализу [ ]

Задание и методические рекомендации

Задать периодический сигнал:

Длительность импульса .

Скважность

Амплитуда импульса

Измерить N дискретных ординат на периоде n=4, 5, 6 (не менее 16 ординат на периоде)

Установить Exel и ввести в таблицу x(i)

i=0,.., n-1.

Рассчитать спектр сигнала

Ø Сервис

Ø Анализ данных

Ø Анализ Фурье

Ø ОК

На экране: Диалоговое окно Анализ Фурье

- Установить входной интервал

- Ввести ссылку на левую верхнюю ячейку выходного интервала. Размер выходного интервала будет определён автоматически. Выходные значения представлены в формате:

+i .