Оптимальные по быстродействию системы, структурные схемы таких САУ

В большинстве практических задач оптимизации объекта экстремум функционала качества обеспечивается при управлении, имеющем разрывы 1-го рода.

При этом координаты объекта также могут иметь разрывы 1-го рода, положение и число которых не известно.

Решение таких задач методом классического вариационного исчисления проблематично, поэтому используют принцип максимума Понтрягина.

Сущность принципа максимума:

При заданной модели объекта в форме системы уравнений Коши и заданных ограничениях на управление следует найти вектор оптимальных управляющих воздействий, которые обеспечивают минимум функционала качества. Для решения задачи вводится дополнительная функция ψ:

и записывается функция Гамильтона для неклассической вариационной задачи:

Оптимальное управление находится по частной производной:

Каноническое уравнение Гамильтона для решения задачи записывается в следующей форме:

Если существует оптимальное управление, принадлежащее к классу допустимых управлений , то соответствующая этому управлению функция должна проходить через фиксированные начальную и конечную точки и .

Теорема Понтрягина:

для того, чтобы управление было оптимальным, необходимо существование такой ненулевой вектор-функции ψ(t), существующей в силу системы уравнений Гамильтона и соответствующих функций x(t) и u(t), которая в интервале времени при оптимальном управлении обеспечит максимум Н^*-функции.

Причем в конечный момент времени Н*-функция равна нулю:

Наиболее удобно решать этим методом задачи на оптимальное быстродействие.

Принцип максимума сводит решение задачи к решению в (2n+r+2)-мерном пространстве дифференциальных уравнений.

В большинстве случаев . в этом случае Н*-функцию можно записать следующим образом при функционале качества, определяющем максимальное быстродействие:

,

где G – система уравнений объекта в форме Коши.

На основании принципа максимума для линейных объектов управление можно выбирать:

– релейное управление

Из принципа максимума следует, что оптимальным по быстродействию является релейное управление, но не обычное, а с принудительным переключением реле.

В этом случае в системах оптимального по быстродействию системах схему управляющего устройства можно представить следующим образом:

- функция переключения реле в зависимости от ошибки ее производных (она может быть записана в форме функции фазовых координат ).