2015-07-04
232Длина дуги меридиана
Как правила, эллипсоид задается двумя параметрами: большой полуосью и сжатием (а, а), либо большой полуосью и эксцентриситетом (а, е), либо полуосями (а, b). Пусть S длина дуги меридиана от экватора до точки с широтой φ, то
(1)
где М -радиус кривизны к поверхности эллипсоида в плоскости меридиана и
, (2)
где 
– квадрат первого эксцентриситета и W определяются
. (3)
Кроме того, радиус кривизны в плоскости меридиана также определяется
, (4)
где с – полярный радиус эллипсоида, е2 – квадрат второго эксцентриситета и V представляются:
. (5)
Подставляя уравнения (2) и (3) в уравнение (1) получим формулу для длины дуги меридиана S, зависящей от широты φ. Подставляя значения e2 из (5) в (4) также получим формулу для S. В геодезической литературе для длины меридиана S часто используется постоянная n эллипсоида, по степеням разложения которой получают серию формул для S. Разложение по степеням e2 чаще всего встречается в литературе, но в геодезических целях S с использованием степеней 
приводят более компактным формулам, которые дают одинаковые результаты с формулами, полученными при разложения подынтегральной функции по степеням е2 на уровне пятого десятичного знака. Еще одно преимущество: формулы с участием степеней n заключаются в том, что учитывая S как функции широты φ можно установить обратную зависимость φ от S. Данное обстоятельство упрощает преобразование прямоугольных координат X, Y в геодезические эллипсоидальные координаты B, L.
|
|
|
Длина дуги меридиана. Формула по степеням е2
Используя уравнения (1), (2) и (3) длину меридиана зададим интегралом:
(6)
Данный интеграл эллиптический второго рода, который не может быть решен непосредственно, вместо подынтегрального выражения 
используются члены разложения в ряд и после этого оцениваются возможности интегрирования. Подынтегральное выражение может быть разложено по бесконечному биномиальному ряду
, (7)
где n –целое положительное число, β – любое вещественное число, - 1 < х <1.
Биномиальные коэффициенты 
задаются
(8)
В уравнении (8) гамма-функция Γ удовлетворяет для всех 
и 
для всех β ≠ 0,−1,−2,….. и для целых значений n Γ(n +1) = n! для всех 0! = 1.
В случае, когда β целое положительное число, скажем, k, и -1 <х <1, биномиальный ряд (7) можно представить в виде конечной суммы
(9)
где биномиальные коэффициенты 
имеют вид
(10)
Биномиальные коэффициенты 
для ряда (7) имеют вид уравнения (8), как 
со следующими результатами для n = 0,1, 2 и 3
Проверка результатов вышеприведенных равенств показывает, что биномиальные коэффициенты имеют последовательность вида
|
|
|
С помощью этих коэффициентов дает (Baeschlin 1948, с.48; Иордания / Эггерт / 1958 Kneissl, с.75; 1982 Рапп, с.26)
(11)
Чтобы упростить это выражение для интегрирования, значение sinφ может быть выражено в косинусах четных углов с использованием стандартной формы
(12)
Используя уравнение (12) и биномиальные коэффициенты, вычисленные по формуле (10) получим:
(13)
Подставляя уравнения (13) в уравнение (11) и выполнив несложные преобразования, получим (1948 Baeschlin, с.48; Иордания / Эггерт / 1958 Kneissl, с.75; 1982 Рапп, с.27)
(14)
где коэффициенты A, B, C и т.д.,
(15)
Подставляя уравнения (14) в уравнение (6) получим длину дуги меридиана
Для интегрирования используем табличный интеграл вида
Таким образом, в результате интегрирования получим в окончательном виде формулу для длины дуги меридиана от экватора до точки с широтой φ:
(16)
Пример:
| Эллипсоид Красовского | ||
| a = | ||
| 0.00335233 | |
| 0.006693422 |
| Коэффиц. | Значения для эл. Крас. | А, В/2, С/4, D/6, E/8, F/10 |
| А= | 1.005051773902580000 | 1.00505177390258 |
| B= | 0.005062377645064270 | 0.002531189 |
| C= | 0.000010625560612765 | 2.65639E-06 |
| D= | 0.000000020811392492 | 3.46857E-09 |
| E= | 0.000000000039301098 | 4.91264E-12 |
| F= | 0.000000000000071034 | 7.10337E-15 |
φ = 500
| а(1-е2)= 6335552.717 | ||
| S= | а(1-е2)A= 6367558.497 | 5556743.054 = а(1-е2)A φ |
| а(1-е2)B/2= -16036.48022 | -15792.85005 = а(1-е2)B/2sin2φ | |
| а(1-е2)C/4= 16.82969985 | -5.756096356 = а(1-е2)C/4sin2φ | |
| а(1-е2)D/6= -0.021975279 | 0.01903115 = а(1-е2)D/6sin2φ | |
| а(1-е2)E/8= 3.11243E-05 | 2.00063E-05 = а(1-е2)E/8sin2φ | |
| а(1-е2)F/10= -4.50038E-08 | -2.89279E-08 = а(1-е2)F/10sin2φ | |
| 5540944.467 м |
