Математическое описание опасных явлений

Степень природной, техногенной и социальной опасности, опасностей экономического характера территории или сферы деятельности описывается характерными видами опасных явлений и их характеристиками:

—энергетическими — распределением по силе (встречаемостью);

—временными — временным распределением (частотой реализации или по­вторяемостью опасных явлений, их цикличностью и прогнозируемыми сроками возникновения);

—пространственными — пространственным распределением (областями раз­вития неблагоприятных явлений или возможного возникновения опасных явле­ний заданной силы и повторяемости; площадями зон действия их негативных факторов).

Характерным для опасных природных явлений является детерминирован­ное распределение областей их возникновения (источников опасности) по территории Земли; случайность (неопределенность) места возникновения конкретного опасного природного явления; локальность действия его нега­тивных факторов (причем площадь зоны действия негативных факторов де-терминированно зависит от силы природного явления).

Степень техногенной опасности некоторой территории для жизнедеятель­ности населения характеризуется видами размещенных на ней потенциально опасных объектов, их числом, накопленным потенциалом опасности, аварий­ностью, пространственным размещением по отношению к местам расселения людей, зонами действия негативных факторов в случае опасных техногенных явлений с учетом среднегодового (среднесезонного, среднесуточного) распре­деления направления и скорости ветра.

Степень социальной опасности некоторой территории описывается видами и уровнями опасности, территориальным (географическим) и временным рас­пределениями. Например, на картографической основе должны быть указаны зоны военных действий и активной террористической деятельности, повы­шенной преступности, криминогенной обстановки.

Степень опасности явлений экономического характера описывается анало­гичными с другими видами опасностей характеристиками с поправкой на раз­вертывание процесса их реализации в некоторой сфере деятельности и инфор­мационном пространстве, а также существенным влиянием на результат дея­тельности нестабильности условий деятельности, описываемой волатильно-стью финансово-экономических переменных.

Для количественной характеристики степени проявления свойства опасно­сти процесса деятельности используются показатели опасности. Опасность деятельности проявляется не всегда, а лишь при появлении необходимых и достаточных условий возникновения происшествия. Уровень опасности деятельности определяется величиной вреда от происшествий, приходящейся в среднем на определенный промежуток времени ее осуществления, т. е. характеризуется риском. Чем больше вреда от происшествий приходится на один и тот же промежуток времени выполнения процесса деятельности по сравнению с другими процессами, тем опаснее этот процесс.

Опасности территорий и видов деятельности

Количественным показателем степени проявления опасности деятельности является риск деятельности, определяемый как произведение вероятности возникновения происшествия за определенный период деятельности (реали­зации опасности) на математическое ожидание вреда от одного происшест­вия. Вероятность возникновения происшествия является функцией вероятно­стей наступления предпосылок к нему, которые, в свою очередь, зависят от вероятностей появления признаков опасности. Между наступлением про­исшествия, предпосылок к нему и признаков опасности существует зависи­мость. Появление предпосылки к происшествию создает условие возникнове­ния происшествия и увеличивает возможность его наступления. Появление признака опасности создает условие возникновения предпосылки к происше­ствию и увеличивает возможность наступления предпосылки к происшествию и происшествия.

Распределение опасных явлений по силе (встречаемость). Рассмотрим неко­торое опасное явление, которое сопровождается формированием негативных факторов для людей и (или) объектов техносферы. Их уровни являются физи­ческими величинами (амплитуда колебаний грунта при землетрясении, ско­рость ветра при урагане, избыточное давление во фронте ударной волны и т. п.) и наряду с энергией опасного явления (магнитудой землетрясения, тротиловым эквивалентом взрыва) характеризуют их силу.

Уровни негативных факторов (действующие нагрузки) описываются пара­метрами u, определяющими их поражающее (истощающее, блокирующее) действие на объекты. Из-за различной силы опасных явлений (причем слабые явления случаются чаще, чем сильные), неопределенности относительного положения очага опасного явления и объекта воздействия его негативных факторов и т. д. действующую нагрузку представим случайной величиной U. Она описывается характерной для рассматриваемой территории и размещения объектов на ней (с учетом ослабления силы негативного фактора при уда­лении от возможного очага опасного явления) функцией распределения негативных факторов, формируемых при реализации опасности, по силе F(u) = P(U < u). Известны, например, функции распределения для городов России максимальной скорости ветра, силы землетрясений, уровней подъема воды в реках и др.

В зависимости от полноты исходной информации вероятностные распреде­ления опасных явлений по силе могут быть определены: по статистическим данным о силе опасного явления; из анализа измеренной достаточно протя­женной реализации опасного процесса, главным образом природного, и дру­гими способами.

По статистическим данным определяется статистическая функция распре­деления

F(u) = P(U < u),

которая при N -^ да приближается к истинной F(u) = P(U < u). Для использо­вания в задачах оценки и прогноза статистическую функцию распределения целесообразно заменить подходящей теоретической. Так как число N природ­ных явлений за временной интервал A T ограничено, то необходимо решать за­дачу выравнивания (сглаживания) статистического ряда. Для этого вначале

Глава 4

из физических соображений или вида статистического распределения выбира­ют тип теоретического распределения (в дальнейшем используются методы проверки статистических гипотез о согласии статистического распределения с теоретическим). Затем задача сводится к рациональному выбору его пара­метров, при которых соответствие между статистическим и теоретическим распределениями наилучшее. Для этого может быть использован метод мо­ментов [23], согласно которому параметры теоретического распределения вы­бираются с таким расчетом, чтобы несколько важнейших числовых характери­стик (моментов) теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам. Если вид теоретического распределения за­ранее неизвестен, то для его выбора при N > 200 можно воспользоваться сис­темой кривых Пирсона.

Для экстремальных событий имеются свои характерные классы вероятно­стных распределений [24, 44]. Однако при управлении риском необходим учет опасных природных явлений, реализация которых маловероятна, но последст­вия велики (сильные наводнения, землетрясения и др.). С точки зрения стати­стики эти события представляют собой крайние «хвостовые» значения генера­льной совокупности и, как правило, они недооцениваются или пренебрегают-ся исследователями. Подобное игнорирование может привести к серьезным последствиям. Например, хозяйственное освоение без достаточного обосно­вания и принятия адекватных мер инженерной защиты территорий, подвер­женных редким, но сильным наводнениям, приводит рано или поздно к унич­тожению объектов техносферы.

Идентификация распределений редких событий, лежащих на хвосте рас­пределения (распределений с «тяжелыми хвостами»), требует подходов, от­личных от применяемых в случае обычных распределений. Например, для них практически бесполезной характеристикой является математическое ожида­ние, а для описания крупных событий уместно использовать другую характе­ристику, называемую масштабом. В течение существенного промежутка вре­мени суммарный эффект всех зарегистрированных событий оказывается соиз­меримым с максимальным из них (как это имеет место для устойчивых зако­нов распределения [24]). При этом сам процесс субъективно воспринимается как нестационарный. Лишь по мере накопления значительной статистики эта иллюзия пропадает. Однако увеличение интервала наблюдения Δ T сопровож­дается изменением условий реализации соответствующих случайных величин и, следовательно, их распределений.

Одним из рекомендуемых подходов является визуализация эмпирического распределения (применение вероятностных графических методов).

Распределение опасных явлений во времени (частота реализаций и прогноз времени наступления). Математический аппарат для определения показателей частоты реализаций опасного явления λ основан на рассмотрении распределе­ния реализаций опасного явления во времени. Представим их потоком слу­чайных событий. Будем считать этот поток обладающим свойствами ординар­ности (за достаточно малый промежуток времени происходит не более одной реализации), отсутствия последействия (после очередной реализации их час­тота не изменяется, хотя, разумеется, меры по предупреждению опасных явле­ний и снижению их последствий принимаются после каждой реализации)

Опасности территорий и видов деятельности

и стационарности (частота реализаций X(t) = const). При этих условиях поток реализаций опасного явления является простейшим пуассоновским, для кото­рого случайное число % реализаций, происходящих в течение времени At, рас­пределено по закону Пуассона

N

F(N) = P(^ < N) = 2_₁P (k), (4.1)

k=0

где P (k) =— [a(At)]^k exp(-a(At)) — вероятность k реализаций в течение вре- k!

мени At; a(At) = XAt — параметр распределения Пуассона (среднее число a(At) = M[^] реализаций в течение времени At); X — частота реализаций (сред­нее число реализаций за единичный и достаточно малый интервал времени, (ед. времени)^-1).

При наличии статистических данных частота реализаций определяется по формуле

X=d / AT,

где d — число опасных явлений за интервал наблюдения AT.

Для пуассоновского потока время T между событиями подчиняется экспо­ненциальному закону, т. е. вероятность хотя бы одной реализации за время At в соответствии с (4.1) вычисляется по формуле

Q(At) = 1 - P (0) = 1 -exp(-XAt)). (4.2)

Соотношение (4.2) используется для определения частоты наступления не­восполнимого ущерба для конкретного объекта (субъекта), например, инди­видуальной вероятности смерти для человека.

C увеличением A t возрастает и число событий. Когда a(At) ->• оо, распреде­ление Пуассона приближается к нормальному с параметрами M[^] и D[Z]. В этом случае приближенно в качестве (4.1) можно применять уравнение [101]

D [ > ]

Практически нормальным приближением пользуются при a(At) > 100. Оно полезно для получения гарантированных оценок риска методами доверитель­ного оценивания.

Для редких событий (например, тяжелых радиационных аварий типа Чер­нобыльской), когда a(At) « 1 (практически при a(At) < 0,1), приближенно можно считать, что

Q(At) * a(At) = XAt.

При малых a(At) справедливо биномиальное распределение.

Пространственное распределение опасных явлений удобно изображать на карте. Например, зоны возможного затопления по информации о прогно­зируемом уровне подъема воды при наводнении удобно строить на трехмер­ной электронной карте местности. Электронные карты местности лежат в основе использования ГИС-технологий.

Глава 4

Пространственное распределение (области возможного возникновения) опасных природных явлений на картографической основе целесообразно от­ражать изолиниями их повторяемости и (или) силы. Повторяемость опасных природных явлений А, ₀ определяется для точек — центров квадратов фиксиро­ванной площади S0, равной, например, для торнадо 10 000 км². Величина S₀ определяется размерами области возможного возникновения опасного при­родного явления, градиентом изменения его повторяемости и площадью зоны поражения.

Частота Х _ò опасных явлений в определенном административно-территори­альном образовании площадью S_т вычисляется по формуле (рис. 4.4)

λ

λ0.

m

S0

Если территория рассматриваемо­го административно-территориаль­ного образования размещена в зонах с различной частотой опасных при­родных явлений, то средняя частота природного явления на ней составит

1 S

λ

m

λ S ∑ 0 j mj

Ðèñ. 4.4. Определение повторяемости опасных природных явлений на территории

j

где S_тj — площадь части территории (∑ S_mj = S_m), на которой опасные

j

природные явления происходят с ча­стотой λ0 j.

Пусть при отображении опасности на карте за основу взяты изолинии по­вторяемости опасных природных явлений с силой u > u₀: Х₀(u > u₀) = var. Для определения повторяемости природных явлений с силой u > u ₁ дополнительно рассмотрим распределение реализаций опасного природного явления по силе F(u). В качестве u ₀ и u ₁ может, в частности, рассматриваться расчетная стой­кость размещенных на территории типов объектов.

Пусть вид и параметры распределения F(u) известны. Например, известно распределение торнадо по скорости ветра. В США торнадо с категорией ин­тенсивности Ф3 встречается менее чем в 5 % случаев, Ф4 — 3 %, Ф5 — 1 %. В этих же пропорциях отмечается встречаемость разных категорий торнадо и в других районах мира.

Тогда если А, ₀ — известная частота реализаций опасного природного явле­ния с силой u > u₀, то частота его реализаций, превышающих некоторый уро­вень u ₁, определяется по формуле

1 -F(u1)

λ 1 =--------------- λ0.

1 -F(u ₀ )

Если u — это параметр, характеризующий поражающее действие негатив­ных факторов от некоторого источника опасности на объект, а u_êð — критери-

Опасности территорий и видов деятельности

альное значение, начиная с которого объект разрушается, то разрушение объ­ектов данного типа происходит на расстоянии г < R_n от источника опасности (рис. 4.5). Если зона поражения — круг, то площадь зоны поражения поража­ющими факторами рассматриваемого источника опасности S_n = nR_n². Радиус зоны поражения R_n определяется из условия разрушения объекта опасным фактором

и(г) > и_кр при замене неравенства на равенство.

S’

Объект воздействия

U

Область возможного возникновения опасных явлений

икр

0 Rn ^Г

Рис. 4.5. Относительное пространственное распределение источника опасности и объекта воздействия

Площадь зоны поражения (действия поражающих факторов) S_n зависит от силы опасного природного явления, стойкости застройки к воздействию поражающих факторов и некоторых других факторов. Она оценивается по ста­тистическим данным или с помощью теоретических моделей. Так, для усло­вий России S_n составляет: 7-балльная зона для землетрясений при магнитуде М= 5 — 300, М= 8 — 6000 км²; цунами — до 50 км² (прибрежная полоса шири­ной в сотни м и длиной до 500 км); ураганов — до 0,2-10⁶ км² (полоса ветра со скоростью более 20 м/с шириной до сотен км и длиной до 1000 км); тайфу­нов — до 0,2-10⁶ км² (полоса ветра шириной до 400 км и длиной до 500 км); смерчей — до 40 км², средняя — 1 км² (полоса шириной до 1 км и длиной до 50 км); лесных пожаров — 0,7 км² (средняя за 2003 г.).

Для характеристики степени опасности территории используется также по­нятие пораженности геологическим процессом, под которой понимается со­отношение площади проявления (распространения) определенного современ­ного геологического процесса или группы парагенетически связанных про­цессов (оползни, обвалы, карст, суффозии и др.) к общей площади рассматри­ваемой территории. Количественным показателем пораженности является ко­эффициент пораженности а_п = S_0H/S_m, где S_0M — площадь проявления данно­го процесса, S_m — общая площадь рассматриваемой территории.

Глава 4