Основные понятия

Рис.1

На рис.1 показана трёхпроводная линия, состоящая из проводов 1, 2, 3, расположенных над проводящей поверхностью в среде с абсолютной диэлектрической проницаемостью ε_а и несущих электрические заряды с линейными плотностями τ₁, τ₂, τ₃. Согласно методу зеркальных изображений, процесс электрической индукции может быть учтен введением зеркально расположенных зарядов 1’, 2’, 3’ с линейными плотностями зарядов –τ₁, -τ₂, -τ₃, проводящая поверхность удалена, и всё верхнее и нижнее полупространство заполнено средой с абсолютной диэлектрической проницаемостью ε_{а .}

Потенциалы проводов определяются первой группой формул Максвелла:

φ₁=τ₁d₁₁+τ₂d₁₂+τ₃d₁₃,

φ₂=τ₁d₂₁+τ₂d₂₂+τ₃d₂₃, (1)

φ₃=τ₁d₃₁+τ₂d₃₂+τ₃d₃₃,

где - взаимные потенциальные коэффициенты,

- собственные потенциальные коэффициенты,

k, n = 1, 2, 3 – для частного случая 3 ^х проводов,

h_k – высота расположения провода;

r_k – радиус провода;

a_kn, b_kn – расстояние между проводами и их зеркальными изображениями.

Решив систему уравнений (1) относительно линейных плотностей зарядов τ, полагая потенциалы φ и коэффициенты α известными, получим вторую группу уравнений Максвелла:

τ₁=β₁₁φ₁+β₁₂φ₂+β₁₃φ₃,

τ₂=β₂₁φ₁+ β₂₂φ₂+β₂₃φ₃, (2)

τ₃=β₃₁φ₁+β₃₂φ₂+β₃₃φ₃.

Емкостные коэффициенты , k, n = 1, 2, 3; Δ – определитель системы (1):

.

Алгебраическое дополнение Δ _kn получается путем вычеркивания из Δ k -строки и n -столбца и умножения этого минора на (-1)^k+n.

Возможен и переход от системы уравнений (2) к системе (1) путем ее решения, при этом потенциальные коэффициенты

, (3)

где определитель системы (2)

,

Δ _kn – алгебраическое дополнение (k, n = 1, 2, 3), которое получается из Δ путем вычеркивания из этого определителя k-строки и n-столбца и умножения этого минора на (-1)^k+n.

Емкостные коэффициенты β₁₁, β₂₂, β₃₃ могут быть найдены из (2), если принять потенциалы всех тел, кроме одного, равным нулю, например, “заземлив” их. Зададим, например, φ₁=U₁≠0, а φ₂=φ₃=0. Из первого уравнения системы (2) при этом получим τ₁=β₁₁φ₁=β₁₁U₁.

Если разрядить провод 1 через баллистический гальванометр на “землю”, то по отбросу гальванометра можно определить заряд τ₁ и, зная напряжение U₁, и коэффициент β₁₁.

Аналогично определяются β₂₂, β₃₃.

Описанный принцип определения заряда тела, а по нему и емкостного коэффициента, положен в основу экспериментальной части этой лабораторной работы.

Если “заземлить” два провода, например, φ₁=φ₃=0, φ₂=U₂≠0, то из первого из уравнений системы (2) получим τ₁=β₁₂φ₂=β₁₂U₂.

После разряда через гальванометр первого провода и измерения τ₁ по известному напряжению U₂ можно найти β₁₂₌β₂₁, а затем и другие емкостные коэффициенты β_kn. Так как определитель системы (2) симметричен относительно главной диагонали, то Δ _kn =Δ _nk и β_kn=β_nk.

Все емкостные коэффициенты с совпадающими индексами положительны, все емкостные коэффициенты с разными индексами отрицательны β_kk>0, β_nk<0 при n≠k.

Уравнения, описывающие электростатическое поле системы заряженных тел, (2) могут быть записаны и в несколько иной форме, когда они выражают линейную плотность заряда каждого провода не через потенциалы проводов, а через разности потенциалов данного провода и других проводов и “земли”. В этом случае получим третью группу формул Максвелла:

τ₁=C₁₁(U₁-0)+C₁₂(U₁-U₂)+C₁₃(U₁-U₃),

τ₂=C₂₁(U₂-U₁)+C₂₂(U₂-0)+C₂₃(U₂-U₃), (4)

τ₃=C₃₁(U₃-U₁)+C₃₂(U₃-U₂)+C₃₃(U₃-0).

Коэффициенты С в этих уравнениях называются частичными емкостями, С_kk -собственными, С_kn - взаимными. При этом собственные частичные емкости С_kk=β_k1+β_k2+β_k3, k =1, 2, 3, С_kk>0. Взаимные частичные емкости С_kn=-β_kn, так как β_kn<0, C_kn>0.