Собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы

Большое число научно технических задач, а также некоторых исследований в области вычислительной математики требуют нахождения собственных значений и собственных векторов матриц.

Вектор x=(x₁,x₂…x_n) Î Eⁿ называется собственным вектором матрицы А=(a_ij)_nn,если существуеттакое число l Î R,что имеет место равенство:

. (1)

Число l называется собственным значением матрицы А.

Поскольку при умножении собственных векторов на скаляр он остается собственным вектором той же матрицы, его можно нормировать. В частности, каждую координату собственного вектора можно разделить на максимальную из них или на длину вектора. В последнем случае получится единичный собственный вектор.

Характеристической матрицей С данной матрицы А называется матрица вида:

(2)

где Е – единичная матрица.

Легко видеть, что равенство (1) можно записать в виде:

. (3)

Если перейти к координатной форме записи вектора x, то

(4)

Системы (3) и (4) являются однородной системой n линейных уравнений c n неизвестными. Она имеет ненулевое решение лишь тогда, когда её определитель равен нулю.

, (5)

Определитель матрицы С является многочленом n -ной степени относительно λ

. (6)

называется характеристическим многочленом. Корни этого многочлена являются собственными значениями матрицы А.

Для нахождения собственных векторов матрицы требуется решить систему линейных алгебраических уравнений, решение которой не единственно. Из линейной алгебры известно, что в этом случае структура общего решения системы имеет следующий вид: одно или несколько неизвестных, называемых свободными, могут принимать любые значения, а общие неизвестные выражаются через свободные. Число свободных неизвестных равно числу уравнений системы являющихся следствием остальных уравнений, т.е.,

, (7)

где m – число свободных неизвестных; n – размерность системы.

На практике, если свободное неизвестное одно (что часто бывает), его полагают равным некоторому числу, например 1. После этого находят остальные неизвестные (компоненты вектора), которые определяются однозначно. Эта процедура не влияет на результат решения задачи, поскольку уже отмечалось, что собственные векторы находятся с точностью до постоянного множителя.

Пример. Вычислить собственные числа и собственные векторы матрицы А.

Решение. Составим характеристический многочлен:

Найдем корни этого многочлена:

Для нахождения собственных векторов и , соответствующих собственным значениям l₁ и l₂, составим систему уравнений для каждого из них:

,

или в координатной форме:

Замечаем, что уравнения линейно зависимы. Поэтому оставляем лишь одно из них. Из первого уравнения следует, что x ₂= – x ₁. Неизвестное x ₁ можно считать свободным. Полагаем x ₁=1, тогда x₂= – 1 и, собственный вектор, соответствующий собственному значению l₁=2, имеет вид =(1, –1) или = l ₁ – l ₂, где l ₁, l ₂ – единичные орты выбранной базисной системы.

Аналогично находим второй собственный вектор, соответствующий собственному значению l₂ = 5

Отсюда х ₁=1; х ₂=2.

вектор нормирован, нормируем также вектор , разделив его компоненты на большую из них. Получим:

Можно так же привести векторы к единичной длине, разделив их компоненты на значения модулей векторов:

;

Мы рассмотрели простейший пример вычисления собственных значений векторов для матрицы 2-го порядка. Нетрудно также привести подобное решение для матрицы 3-го порядка и для некоторых весьма специальных случаев.

В общем случае, особенно для матриц высокого порядка, задача нахождения их собственных значений и собственных векторов, называемая полной проблемой собственных значений, значительно более сложная.

На первый взгляд может показаться, что вопрос сводится к вычислению корней многочлена (6). Однако эта задача осложнена тем, что среди собственных значений часто встречаются кратные. И, кроме того, для произвольной матрицы непросто вычислить сами коэффициенты характеристического многочлена.