V. Метод производной

Методы доказательства неравенств

I. Доказательство неравенств с помощью определения

· 1. Неравенство Коши:

· 2.

· 3.

· 4.

II. Синтетический метод доказательства

· 5.

· 6.

· 7.

· 8.

Упражнения

I.1)

I.2) 8abc≤(a+b)(b+c)(c+a), a>0, b>0, c>0

I.3)

I.4)

I.5) (x-3y)²+10(x-3y)+26>0 при любых x, y

I.6) 4xy+24x-10y-5x²-y²-30<0 при любых x, y

I.7) b²x²+(b²+c²-a²)x+c²>0> где a,b,c – длины сторон треугольника, х – любое

I.8)

I.9) Доказать, что x+y≥2a если

I.10)

I.11)

III. Метод «от противного»

· 9.

· 10.

IV. Метод математической индукции

· 11. Доказать:

· 12.

Упражнения

III.1)

III.2) Если x>-1, n≥2, то (1+x)ⁿ≥1+nx

III.3) Если, n≥5, то 2ⁿ>n²

III.4) Если n≥2, то

III.5) Если n≥2, то

III.6) Если n N, то

V. Метод производной

· 13. e^x-x>1 при x≠0

· 14. cos x>1- . x≠0

· 15. при x≥0

· 16. ln²n > ln (n-1)∙ln(n+1), n>2

Упражнения

V.1)

V.2)

V.3) 2x⁴-4x³+3x²+4x+1>0, x>0

V.4)

V.5)

V.6)

V.7)

V.8)

V.9)

Дополнительный набор задач по всем методам

VI.1)

VI.2)

VI.3) ,

VI.4)

VI.6)

VI.7)

VI.8)

VI.9)

VI.10)

VI.11) e^x>ex, x>1

VI.13) ,

VI.14) ,