Распределение Пуассона

ТЕМА 5. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН,

СВЯЗАННЫЕ С ПОВТОРНЫМИ ИСПЫТАНИЯМИ

ПЛАН

1.	Схема повторных испытаний
2.	Формула Бернулли. Биномиальные вероятности
3.	Биномиальный закон распределения
4.	Математическое ожидание, дисперсия и график биномиального распределения
5.	Распределение Пуассона
6.	Гипергеометрическое распределение

Пример 1. Монета подбрасывается 4 раза, пусть X - означает число появившихся гербов.

Пример 2. Известно, что в определенном городе 30% горожан предпочитают добираться на работу личным автомобилем. Случайно выбраны 8 человек. Пусть Y - число людей в выборке, предпочитающих личный транспорт.

Пример 3. Известно, что 15% деталей, произведенных автоматом, - бракованные. В порядке случайного отбора взято 12 деталей. Пусть Z - число дефектных деталей.

Что характерно для случайных величин X, Y и Z?

Это – примеры ДСВ, подчиняющихся вероятностному закону распределения, известному как биномиальное распределение.

Испытания Бернулли - это последовательность n идентичных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Каждое испытание имеет два исхода, называемые успех и неуспех. Эти два исхода - взаимно несовместные и противоположные события.

2. Вероятность успеха, обозначаемая p, остается постоянной от испытания к испытанию. Вероятность неуспеха обозначается q, где q=1 - p. Все n испытаний - независимы. То есть вероятность наступления события в любом из испытаний не зависит от результатов других испытаний.

Случайная величина, для которой вычисляется число успехов в n повторных испытаниях, где p - вероятность успеха в любом из заданных испытаний, а q = (1 - p) - соответствующая вероятность неуспеха, подчиняется закону биномиального распределения с параметрами n и p.

Пример 1. Монета подбрасывается 4 раза, пусть ДСВ X - означает число появившихся гербов.

При четырех подбрасываниях монеты случайная величина Х - число выпадений герба, принимает возможные значения Х_i: 0,1,2,3,4.

Рассмотрим определенное событие, когда Х = 2. Событие состоит в том, что при 4-х подбрасываниях монеты 2 раза выпадет герб.

Определим вероятность этого события, то есть Р (Х =2). Подсчитаем, сколькими способами может осуществиться данное событие.

При 4-х бросаниях монеты герб появится два раза в одной из следующих 6 последовательностей:

ГГЦЦ, ГЦГЦ, ГЦЦГ, ЦГГЦ, ЦГЦГ, ЦЦГГ

Исходя из независимости 4-х испытаний, вероятность любой последовательности, скажем (Г, Г, Ц, Ц) есть ppqq. Очевидно, что порядок появления цифры или герба не влияет на вероятность. Вероятность p²q² есть вероятность для любой из 6 перечисленных комбинаций.

Поскольку все шесть возможных комбинаций ведут к событию Х =2, то умножим результат на шесть, что даст нам 6p²q². Для идеальной монеты p = q = 0,5; отсюда Р (Х =2) = 6∙(0,5)⁴ = 0,375.

Точно также можно вычислить другие вероятности Р(Х=0), Р(Х =1), Р(Х =3),Р(Х =4).

Обобщим процедуру вычисления вероятности появления некоторого события точно m раз в n последовательных испытаниях, удовлетворяющую условиям схемы повторных испытаний:

1.Вероятность любой заданной последовательности, в которой событие появляется m раз и в n испытаниях с вероятностью успеха в каждом отдельном испытании p и q - неуспеха, равна p^mq^n-m.

Для опыта с подбрасыванием монеты при p= q = 0,5, n = 4 и m = 2 получим

Р(Х=2) = (0,5)²(0,5)² = (0,5)⁴

2. Число различных комбинаций в испытаниях, в результате которых наступит точно m успехов, равно числу сочетаний из n элементов по m элементов в каждом:

или

Для примера с подбрасыванием монеты

= = 6 или

3.Поскольку существует С комбинаций и каждая комбинация имеет вероятность p^mq^n-m, то вероятность m успехов в n испытаниях есть результат двух описанных выше действий. Будем использовать символ P_n,m для обозначения вероятности Р(Х=m) в n испытаниях с вероятностью успеха в каждом отдельном испытании - p

Р(Х=m) = P_n,m = С p^mq^n-m=

= p^mq^n-m (1)

где p - вероятность успеха в отдельном испытании, q=1-p, n - число испытаний, m - число успешных испытаний.

Это -формула Бернулли.

В формуле (1) m может принимать значения от 0 до n. Подставим m=0,1,2,...,n в (1):

Построим биномиальное распределение числа выпадений герба при 4-х подбрасываниях монеты.

X =m			P(x) = P4,m
	С p0qn		0,0625
	С p1qn-1		0,2500
	С p2qn-2		0,3750
	С p3qn-3		0,2500
	С p4qn-4		0,0625

Рассмотрим в качестве СВ Х число m наступления некоторого события в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений этого события в испытаниях состоит из суммы чисел появлений события в отдельных испытаниях, то есть Х=m=Х₁+Х₂+...+ +Х_n, где X_i- число появлений события в i -том испытании (i=1,2,...,n).

Так как вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и равна р (не наступления - q), то для каждой случайной величины Х_i имеем распределение вероятностей:

x_i 0 1

p_i q p

Следовательно,

М(Х₁) = М(Х₂) =... = М(Х_n)

M(X_i) = 0 ∙ q + 1 ∙ p = p

Исходя из формулы математического ожидания СВ, получим:

М(Х) = М(Х₁) + М(Х₂) +... + М(Х_n) =

= М(Х_i) = np

Математическое ожидание частоты биномиального распределения

М(Х) = np (2)

Аналогично рассуждая и применяя формулу дисперсии СВ получим:

D(X_i) = M(X²_i) - M²(X_i) = 0² q + 1² p - p² = p(1-p) = pq

D(X) = D(X₁) + D(X₂) +...+ D(X_n) = D(X_i) = =npq

Дисперсия частоты биномиального распределения:

s² = D(X) = npq (3)

Стандартное отклонение биномиального распределения:

s =√npq

Используя формулы (2) и (3), найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х - числа появления гербов при 4-х подбрасываниях монеты:

М(Х) =np = 4 ∙ 0,5 = 2.

Полученное значение интуитивно понятно и без вычислений. При достаточно большой серии испытаний по четыре подбрасывания монеты, мы ожидаем, что в среднем при четырех подбрасываниях монеты приходится два герба. Дисперсия Х есть

npq = 4 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = 1,00.

Как видно из графика на рисунке 1 при m=2 вероятность достигает максимального значения. Частота m, равная 2, называется вероятнейшим числом или вероятнейшей частотой (наивероятнейшей).

Вероятнейшей частотой наступления события называется та частота, при которой вероятность достигает своего наибольшего значения и обозначается m₀.

np - q£m₀£np + p (5)

В этом неравенстве m₀ может быть только целым числом.

Замечание: Если np - целое число, то m₀ = np

Пример 2. Вероятность того, что выписанный продавцом чек будет оплачен, равна 0,9. Какое наивероятнейшее число чеков будет оплачено, если выписано 40 чеков?

Находим произведение np=40×0,9=36 (целое число), значит, m₀=36

Найдем m₀ по формуле (5)

40 ∙ 0,9 - 0,1 £m₀ £40 ∙ 0,9 + 0,9

35,9 £m₀£ 36,9

Какое целое число удовлетворяет этому двойному неравенству? m₀ =36

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

Если вероятность появления события А в n отдельных независимых испытаниях очень мала

(p<q), то для вычисления вероятности применяется формула Пуассона:

(6)

где l = np, n - число независимых испытаний с постоянной малой вероятностью р, е - основание натуральных логарифмов (е =2,71828), m - число появлений события (m _i =0,1,2,3,...).

Для представления закона распределения Пуассона в виде ряда распределения придадим m целые неотрицательные значения m = 0,1,2,..., n и вычислим соответствующие им вероятности Pn,m:

Таблица 1.

Закон распределения Пуассона

m					...	k	...	n
Pn,m	e -l	l e -l			...		...

Сумма вероятностей ряда равна 1.

Закон распределения Пуассона можно записать также в виде функции распределения (7)

где знак означает сумму вероятностей P_n,m для всех m, меньших n.

Поскольку вероятности P_n,m³1 и P_n,0 есть вероятности противоположных событий, то

P_n,m³1 = 1 - P_n,0 = 1 - = 1 - е^-l,

или

P_n,m³1 = 1 - е ^l (8)

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру l, который определяет этот закон, т.е.

М(Х) = D(Х) = l(9)

Пример 3. Нас интересует число инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в течение 15 минут. Если предположить, что вероятность прибытия автомобиля одинакова в любые два периода времени равной длины, и что прибытие или неприбытие автомобиля в любой период времени не зависит от прибытия или неприбытия в любой другой период времени, то последовательность прибытия инкассаторов в банк может быть описана распределением Пуассона.

РЕШЕНИЕ. Анализ предыдущих данных показал, что среднее число инкассаторов, прибывающих в 15-ти минутный период, равно 10, тогда при l=10 получаем: P(m)=l^m e^-l/ m! =

= 10^m e^-10/m!, при m=0,1,2,...

Если необходимо узнать вероятность прибытия пяти инкассаторов в течение 15 минут, то при m = 5 получим:

Р(5) = 10⁵ е^-10/5! = 0,0378.