П.2 Медиана и мода в вариационных рядах

Кроме рассмотренных средних, в качестве общих характеристик признака могут быть использованы величины конкретных вариантов, занимающих в ранжированном ряду индивидуальных значений признака определённое положение. Особенно часто прибегают для общей характеристики признака к двум таким вариантам: моде и медиане.

Медианой М_е называется вариант, стоящий в центре ранжированного ряда, так что число вариант совокупности с большим и меньшим, чем медиана, значением признака одинаково.

Пусть имеется дискретный вариационный ряд. Если всем вариантам ряда придать порядковые номера, то номер медианы в ряду с нечётным числом членов n определится как . Так, в ряду из 51 варианта номер медианы , т.е. медианой является вариант, стоящий в ряду двадцатьшестым по порядку.

Если же вариантов чётное число, то медиану приходится определить как среднюю из двух центральных вариантов, порядковые номера которых и . Так, если в ряду 50 вариантов, то в центре стоят варианты с порядковыми номерами и и медиана должна быть получена как средняя из величин этих вариантов. Однако если объем выборки достаточно большой и различия между вариантами небольшие, то можно считать медианой (с достаточной степенью точности) один из центральных вариантов с порядковым номером .

Для интервального распределения сначала находят медианный интервал (). Номер его будет соответствовать интервалу, кумулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот:

. (11)

В случае выполнения равенства (8) номер медианного интервала равен l, в противном случае – l +1. Медиану вычисляют по формуле:

, (12)

где l – порядковый номер интервала, где находится медиана, h – величина медианного интервала, - накопленная частота домедианного интервала, - частота медианного интервала.

Модой М_о называется наиболее часто встречающаяся в совокупности величина варианта.

Для дискретного ряда мода определяется как значение признака с наибольшей частотой. В случае непрерывной вариации определяют модальный интервал , т.е. интервал, которому соответствует наибольшая частота . Мода вычисляется по формуле:

, (13)

где n_{l -1} и n_{l +1} – частоты, которые находят в соответствии с предмодальным и послемодальным интервалами.