Закон Био–Савара–Лапласа

Закон Био–Савара–Лапласа: напряженность магнитного поля элемента тока длиной (dl), в вакууме, в точке отстоящей на расстоянии r, определяется соотношением: , где α – угол между направлением тока и направлением радиуса–вектора, проведенного к точке поля.

Рис. 2. К определению направления напряженности магнитного поля тока

Вектор напряженности направлен по нормали к плоскости, в которой лежат вектора dl и r, в соответствии с правилом правой руки: большой палец правой руки по току, тогда четыре укажут направление напряженности магнитного поля (на рисунке 2. ток течет от нас). Силовые линии магнитного поля прямолинейного проводника с током представляют собой концентрические окружности, расположенные в плоскости перпендикулярной току. Векторы напряженности поля направлены по касательным к силовым линиям в соответствии с правилом правой руки: большой палец по току, тогда четыре указывают направление обхода силовой линии.

Очевидно, что для вычисления полной напряженности магнитного поля, создаваемого в точке О током I, идущим по проводнику l, нужно геометрически суммировать элементарные напряженности dН, создаваемые всеми элементарными участками проводника dl и рассчитываемые по закону Био–Савара–Лапласа. Если проводник целиком расположен в одной плоскости, то напряженности от всех участков проводника имеют одинаковое направление, в этом случае геометрическое суммирование сводится к алгебраическому суммированию, то есть к интегрированию по всей длине проводника: .

Примеры:

1. Напряженность магнитного поля конечного, прямолинейного проводника. Полная напряженность равна: .

Рис.3. К расчету напряженность магнитного поля конечного, прямолинейного проводника

Выделим в проводнике элементарный участок dl на расстоянии r от точки О. Из точки О проведем радиусом r отрезок дуги . Так как участок dl и угол dα малы, можно считать, что отрезок АВ прямолинейный, угол ° и угол .

Тогда из ΔАВС получим r· , откуда , учитывая, что , .

Введем последнее выражение в формулу для расчета напряженности, и перейдем от интегрирования по длине к интегрированию по углу: .

2. Напряженность магнитного поля бесконечного проводника с током. В случае бесконечного проводника ° и °. Подставив это в предыдущую формулу, получим: .

Примечание: на основании этого выражения дается определение единицы измерения напряженности магнитного поля – Ампер умножить на метр. Ампер на метр есть напряженность магнитного поля, создаваемого длинным прямолинейным проводником с током в 1А на расстоянии м от его оси.

3. Напряженность магнитного поля в центре кругового тока. В этом случае °, а I и (где R – радиус кругового контура) имеют постоянные значения для всех участков dl. Поэтому или, поскольку , .

Рис. 4. К расчету напряженность магнитного поля в центре кругового тока

Очень полезное понятие магнитный момент кругового тока – это вектор расположенный перпендикулярно плоскости кругового тока в его центре и совпадающий по направлению с напряженностью, численно равен произведению силы кругового тока на обтекаемую им площадь: .

Круговой ток подобен постоянному магниту; во внешнем магнитном поле он ориентируется так, что его собственное поле совпадает с внешним. То есть, круговой ток поворачивается во внешнем магнитном поле так, что его магнитный момент устанавливается в направлении внешнего поля.

4. Напряженность магнитного поля на оси кругового тока. , где R – радиус кругового тока; r – расстояние вдоль оси до точки, в которой рассчитывается напряженность поля.

5. Напряженность магнитного поля соленоида. Соленоид – это катушка цилиндрической формы из проволоки, витки которой намотаны в одном направлении. , где n – число витков на один метр длины соленоида; l - длина соленоида.

6. Напряженность магнитного поля тороида. Тороид – катушка из проволоки, навитой на тор. Магнитное поле тороида однородно и замкнуто внутри самого тороида. .