Примеры исследования динамики нелинейных систем

2.5.1. Исследование нелинейной следящей системы
с двухпозиционным реле с зоной неоднозначности

На рис. 2.18 приведена упрощенная схема исследуемой системы.

Рис. 2.18. Функциональная схема следящей системы с двухпозиционным реле с зоной неоднозначности

При перемещении движка реостата R ₁ (задатчика) мост разбалансируется и через обмотку поляризованного реле P начнет протекать ток, что вызовет замыкание контактов этого реле в цепи якоря двигателя M, который начнет вращаться и переместит движок датчика R ₂, стремясь восстановить равновесие моста. Таким образом, движок R ₂ «следит» за движком R ₁.

Структурная схема следящей системы с двухпозиционным реле с зоной неоднозначности представлена на рис. 2.19.

Рис. 2.19. Структурная схема следящей системы с двухпозиционным реле с зоной неоднозначности

На этой схеме: y ₀ – задающее воздействие; y (t) – регулируемая величина.

Нелинейный элемент (поляризованное реле) имеет характеристику, приведенную на рис. 2.20.

Рис. 2.20. Статическая характеристика поляризованного реле

Пусть параметры системы таковы:

- электромеханическая постоянная времени двигателя T = 0,1 с (электромагнитной постоянной времени пренебрегаем);

- коэффициент передачи линейной части K = 10 рад/В;

- параметры нелинейного элемента (см. рис. 2.20) b = 5, c = 1.

Коэффициенты гармонической линеаризации для реле с заданной характеристикой определяются следующим образом

, при A ³ b.

Уравнение гармонического баланса

.

Частотная функция линейной части

,

где действительная часть

,

а мнимая часть

.

Обратная инверсная частотная функция нелинейного элемента, полученная в результате гармонической линеаризации, после достаточно громоздких преобразований

,

где действительная часть

,

мнимая часть

.

Можем записать V (w) = V (A), или

,

откуда

или

.

После подстановки числовых значений параметров получим уравнение

,

действительный корень которого дает частоту автоколебаний w_a = 2,407 рад/с» 2,41 рад/с.

Запишем уравнение гармонического баланса в другом виде

.

Здесь

;

.

Можно записать , т.е.

,

откуда амплитуда автоколебаний

.

Эту же задачу можно решить графоаналитическим методом, построив АФХ линейной части и АФХ нелинейного элемента. Точка пересечения характеристик соответствует искомым параметрам автоколебаний (рис. 2.21).

Рис. 2.21. К определению параметров автоколебаний
графоаналитическим методом

Модель исследуемой системы в Simulink приведена на рис. 2.22.

Рис. 2.22. Модель НС с двухпозиционным реле с зоной
неоднозначности в Simulink

y 1

y (t)

На рис. 2.23 показаны график переходного процесса y (t) с переключениями релейного элемента фазовая траектория следящей системы.

t а)

y б)

Рис. 2.23. Результаты моделирования НС с двухпозиционным реле:
а) график переходного процесса; б) фазовая траектория

Период колебаний T_k = 2,45 с. Частота колебаний рад/с, а амплитуда A @ 5,14, что практически совпадает с результатами расчета.