5.1. Понятие производной.
Пусть на некотором промежутке определена функция . Возьмём любую точку и зададим аргументу в точке произвольное приращение такое, что точка также принадлежит . При этом функция получит приращение .
О п р е е д е л е н и е. Производной функции в точке называется предел при отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).
Для обозначения производной функции в точке используют символы или .
Итак, по определению
Если функция имеет конечную производную в каждой точке , то производную можно рассматривать как функцию от , также определённую на .
Геометрический смысл производной.
Пусть функция определена на интервале и пусть точка на графике функции соответствует значению аргумента , а точка - значению аргумента . Проведём через точки и прямую и назовём её секущей.. Обозначим через угол между секущей и осью . Очевидно, этот угол зависит от (см. рис.) Если существует то прямую с угловым коэффициентом , проходящую через точку
|
|
, называют предельным положением секущей при .
О п р е д е л е н и е. Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей при ..
Таким образом, для существования касательной необходимо и достаточно существование предела .
Y
P
M
N
K L x
O
Здесь, угол это угол , угол - это угол
Докажем, что если функция имеет производную в точке , то существует касательная в точке , причём угловой коэффициент этой касательной (т.е. тангенс её наклона к оси ) равен значению производной .
Действительно, из треугольника получаем,
,
Отсюда . Перейдём в этом равенстве к пределу при . Так как существует производная
, то существует и предел . Тогда существует и предел
.
Следовательно, существует и предел .
Но это и означает, что существует предельное положение секущей , т.е. существование касательной. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид .
Понятие дифференцируемости функции.
О п р е д е л е н и е. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке можно представить в виде:
, (1)
где - некоторое число, не зависящее от , а - бесконечно малая функция при , т.е.
Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Поэтому для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной - понятия равносильные. В формуле (1) .
УТВЕРЖДЕНИЕ. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
В самом деле, если функция дифференцируема в точке , то , а это и означает непрерывность функции .
|
|
Обратное утверждение неверно, т.е. из непрерывности функции не следует её дифференцируемость. Примером непрерывной, но не дифференцируемой функции может служить функция .
Понятие дифференциала.
Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. её приращение в этой точке можно записать в виде:
где Слагаемое - главная часть приращения функции.
О п р е д е л е н и е. Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть приращения функции в этой точке, т.е. (2)
Учитывая, что , формулу (2) можем записать в виде . (3)
Если , то по формуле (3), , т.е. . (4)
Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной в точке , в то время как - это приращения самой функции в точке и .
5.5 Правила дифференцирования.
Если функции дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (при условии, что ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:
.
Производная постоянной функции равна нулю (.
Правило дифференцирования сложной функции:
ТЕОРЕМА. Если функция имеет производную в
точке , а функция имеет произ –
водную в соответствующей точке , то
сложная функция также имеет произ-
водную в точке и справедлива следующая
формула . (1)
Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке , то приращение функции в этой точке может быть записано в виде
, (2)
где . Поделив равенство (2) на , получим
. (3)
Равенство (3) справедливо при любых достаточно малых . Возьмём равным приращению функции , соответствующему приращению аргумента в точке , и устремим в этом равенстве к нулю. Так как, по условию, функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке. Следовательно, при . Но тогда и , т.е. имеем (4)
Благодаря соотношению (4) существует предел правой части равенства (3) при , равный .
Значит, существует и предел при левой части равенства (3), который, по определению производной, равен производной сложной функции в точке и теорема доказана. Равенство (1) имеет место.
Например, вычислить производную , здесь
, тогда по формуле (1), получим, .
5.6. Таблица производных сложных функций
Пусть , дифференцируемая функция. Тогда для производных сложных функций имеют место следующие формулы:
1. ;
2. ;
3. $
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. :
9. ;
10. ;
11. .
В частности, если , то , и получим обычную таблицу производных.
5.7 Производная неявно заданной функции.
Пусть зависимость между и задаётся неявно функцией
, (1)
Причём, чаще всего, невозможно представление .
Тогда берут производную равенства (1), считая, что . При этом, как правило, зависит от и Как выполняется дифференцирование в этом случае, лучше посмотреть на примерах.
1. Зависимость между и задаётся формулой:
.
Вычислим производную, учитывая формулу производной сложной функции и правила дифференцирования:
Преобразуем это выражение:
Перегруппируем это равенство, оставив слева слагаемые с , а все остальные слагаемые перенесём в правую часть
Отсюда получаем выражение для :
2. Найти , или .
.
Вычислим производную левой и правой части равенства:
Тогда
и окончательно,
.
5.8. Логарифмическое дифференцирование.
По правилу вычисления производной сложной функции, . Эта формула позволяет вычислять производные довольно сложного вида. В первую очередь к ним относятся, так называемые показательно – степенные функции вида
, где и - некоторые функции от (), имеющие производные в точке .
Прологарифмируем эту функцию:
.
Вычислим производную: .
Отсюда, учитывая, что , получим
.
ПРИМЕР. Вычислить производную функции
Прологарифмируем это выражение:
.
Вычислим производную
,
|
|
тогда ,
или .
Учитывая свойства логарифмов (логарифм произведения равен сумме логарифмов, логарифм частного равен разности логарифмов, степень можно выносить за знак логарифма) этот же метод удобно использовать в случае, если функция задана только степенями, корнями, произведениями и дробями.
ПРИМЕР. Найти производную функции
.
Прологарифмируем эту функцию и используем свойства логарифма:
.
Тогда
.
Окончательно,
Если бы мы попытались найти производную этой функции, непосредственно используя правила дифференцирования, получить результат было бы намного сложнее.