Дифференцирование

5.1. Понятие производной.

Пусть на некотором промежутке определена функция . Возьмём любую точку и зададим аргументу в точке произвольное приращение такое, что точка также принадлежит . При этом функция получит приращение .

О п р е е д е л е н и е. Производной функции в точке называется предел при отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

Для обозначения производной функции в точке используют символы или .

Итак, по определению

Если функция имеет конечную производную в каждой точке , то производную можно рассматривать как функцию от , также определённую на .

Геометрический смысл производной.

Пусть функция определена на интервале и пусть точка на графике функции соответствует значению аргумента , а точка - значению аргумента . Проведём через точки и прямую и назовём её секущей.. Обозначим через угол между секущей и осью . Очевидно, этот угол зависит от (см. рис.) Если существует то прямую с угловым коэффициентом , проходящую через точку

, называют предельным положением секущей при .

О п р е д е л е н и е. Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей при ..

Таким образом, для существования касательной необходимо и достаточно существование предела .

K L x

Здесь, угол это угол , угол - это угол

Докажем, что если функция имеет производную в точке , то существует касательная в точке , причём угловой коэффициент этой касательной (т.е. тангенс её наклона к оси ) равен значению производной .

Действительно, из треугольника получаем,

Отсюда . Перейдём в этом равенстве к пределу при . Так как существует производная

, то существует и предел . Тогда существует и предел

Следовательно, существует и предел .

Но это и означает, что существует предельное положение секущей , т.е. существование касательной. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид .

Понятие дифференцируемости функции.

О п р е д е л е н и е. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке можно представить в виде:

, (1)

где - некоторое число, не зависящее от , а - бесконечно малая функция при , т.е.

Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Поэтому для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной - понятия равносильные. В формуле (1) .

УТВЕРЖДЕНИЕ. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

В самом деле, если функция дифференцируема в точке , то , а это и означает непрерывность функции .

Обратное утверждение неверно, т.е. из непрерывности функции не следует её дифференцируемость. Примером непрерывной, но не дифференцируемой функции может служить функция .

Понятие дифференциала.

Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. её приращение в этой точке можно записать в виде:

где Слагаемое - главная часть приращения функции.

О п р е д е л е н и е. Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть приращения функции в этой точке, т.е. (2)

Учитывая, что , формулу (2) можем записать в виде . (3)

Если , то по формуле (3), , т.е. . (4)

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной в точке , в то время как - это приращения самой функции в точке и .

5.5 Правила дифференцирования.

Если функции дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (при условии, что ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:

Производная постоянной функции равна нулю (.

Правило дифференцирования сложной функции:

ТЕОРЕМА. Если функция имеет производную в

точке , а функция имеет произ –

водную в соответствующей точке , то

сложная функция также имеет произ-

водную в точке и справедлива следующая

формула . (1)

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке , то приращение функции в этой точке может быть записано в виде

, (2)

где . Поделив равенство (2) на , получим

. (3)

Равенство (3) справедливо при любых достаточно малых . Возьмём равным приращению функции , соответствующему приращению аргумента в точке , и устремим в этом равенстве к нулю. Так как, по условию, функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке. Следовательно, при . Но тогда и , т.е. имеем (4)

Благодаря соотношению (4) существует предел правой части равенства (3) при , равный .

Значит, существует и предел при левой части равенства (3), который, по определению производной, равен производной сложной функции в точке и теорема доказана. Равенство (1) имеет место.

Например, вычислить производную , здесь

, тогда по формуле (1), получим, .

5.6. Таблица производных сложных функций

Пусть , дифференцируемая функция. Тогда для производных сложных функций имеют место следующие формулы:

1. ;

2. ;

3. $

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. :

9. ;

10. ;

11. .

В частности, если , то , и получим обычную таблицу производных.

5.7 Производная неявно заданной функции.

Пусть зависимость между и задаётся неявно функцией

, (1)

Причём, чаще всего, невозможно представление .

Тогда берут производную равенства (1), считая, что . При этом, как правило, зависит от и Как выполняется дифференцирование в этом случае, лучше посмотреть на примерах.

1. Зависимость между и задаётся формулой:

Вычислим производную, учитывая формулу производной сложной функции и правила дифференцирования:

Преобразуем это выражение:

Перегруппируем это равенство, оставив слева слагаемые с , а все остальные слагаемые перенесём в правую часть

Отсюда получаем выражение для :

2. Найти , или .

Вычислим производную левой и правой части равенства:

Тогда

и окончательно,

5.8. Логарифмическое дифференцирование.

По правилу вычисления производной сложной функции, . Эта формула позволяет вычислять производные довольно сложного вида. В первую очередь к ним относятся, так называемые показательно – степенные функции вида

, где и - некоторые функции от (), имеющие производные в точке .

Прологарифмируем эту функцию:

Вычислим производную: .
Отсюда, учитывая, что , получим

ПРИМЕР. Вычислить производную функции

Прологарифмируем это выражение:

Вычислим производную

тогда ,

или .

Учитывая свойства логарифмов (логарифм произведения равен сумме логарифмов, логарифм частного равен разности логарифмов, степень можно выносить за знак логарифма) этот же метод удобно использовать в случае, если функция задана только степенями, корнями, произведениями и дробями.

ПРИМЕР. Найти производную функции

Прологарифмируем эту функцию и используем свойства логарифма:

Тогда

Окончательно,

Если бы мы попытались найти производную этой функции, непосредственно используя правила дифференцирования, получить результат было бы намного сложнее.