Размерность реконструкции и параметры Ляпунова

Апробация методов реконструкции фазовых траекторий была проведена на экспериментальных сериях, полученных при вертикальном зондировании ионосферы [14]. Изучалось поведение реальной и мнимой компоненты сигнала с двух скрещенных под прямым углом антенн и при длительности выборки не менее 2000 отсчетов. Для анализа выбирались данные о поведении первой и второй характеристической волны в отдельности, их смеси, а также шума ИКС.

Для каждого временного ряда проводилась реконструкция в фазовом пространстве и расчет количественных характеристик в соответствии с описанными методами. Обработка осуществлялась с использованием пакета программ TISEAN [15,16]. Первый минимум взаимной информации , задаваемый соотношением (1), обычно является хорошей оценкой для интервала задержки. Исходя из построенных зависимостей (рис. 1), можно предположить, что использование единичного лага не будет являться грубой ошибкой. Такой выбор будет удобным при сравнении параметров сигнала и шума, временная задержка для которого, как правило, выбирается равной 1.

Рис. 1. Зависимость функции взаимной информации от временной задержки (лага) для сигнала (1) и его шумовой компоненты (2).

Для определения размерности реконструкции рассчитывалось значение доли ближайших ложных соседей при различных значениях размерности. В результате обработки получены значения для характеристических волн и их смеси m =5, а для остатка, после отделения тренда сигнала и шума, порядка m =5,6 (рис. 2). Вычисление корреляционной размерности D ₂ можно осуществить в три этапа.

1. Определение границы «области измерения» на оси из графика Раппа - двойной логарифмической зависимости .
2. Выделение фрагментов, находящихся в данных границах.
3. Вычислене средних значений графиков Раппа на этих участках [17].

Рис. 2. Зависимость доли ложных ближайших соседей от размерности вложения для сигнала (1) и его шумовой компоненты (2).

Хорошую оценку размерности лагового пространства m можно получить из анализа насыщения графика зависимости D ₂ от m. В случае стохастического процесса насыщнеия не будет, а сама корреляционная размерность будет равна размерности лагового пространства m. Для хаотического процесса насыщение наступает при достижении минимального значения m, необходимого для описания динамики системы. К тому же при размерности m большей минимальной начинает резко возрастать погрешность , что характерно для стохастических процессов. На рис. 3 представлена зависимость D ₂(m), демонстрирующая изложенные выше свойства поведения систем.

Рис. 3. Зависимость корреляционной размерности от размерности реконструкции.

Рис. 4. Зависимость логарифма скорости разбегания фазовых траекторий от номера итерации для первой (1, 2) и второй (3, 4) характеристической волны, их смеси (5, 6) и шума (7, 8); четные значения соответствуют исходному сигналу, а нечетные - его шумовой составляющей.

Рассчитанные значения старших показателей Ляпунова [18] для обработанных рядов лежат в диапазоне от 0,008 до 0,025. При этом для шума они близки к 0,008. Для остальных временных рядов показатели Ляпунова, принимают значения в области . На рис. 4 приведена зависимость логарифма коэффициента разбегания фазовых траекторий от номера итерации (времени) для нескольких временных рядов. Тангенс угла наклона к этим кривым служит оценкой максимального показателя Ляпунова.

«Карты хаоса» и реконструкция аттрактора

Исследуемые эквидистантные временные ряды соответствуют регистрации отраженного сигнала от слабо возмущенной ионосферы. Отсчеты для каждой из магнитоионных компонент грубо могут быть аппроксимированы гармоникой на соответствующей доплеровской частоте. Для визуализации динамики системы представим экспериментальную выборку в виде трехмерной однопараметрической «карты хаоса» [19] с единичным временным шагом (рис. 5). По виду траекторий на карте можно восстановить тип функционального соотношения x_n = f (x_{n -1}, x_{n -2}).

Рис. 5. «Карты хаоса» для первой и второй характеристической волны, их смеси и шума (a, b, c, d), а также соответствующих им шумовых компонент (e, f, g, h).

Множества траекторий на картах 5 a и 5 b заполняют кольцо, что соответствует квазигармоническому процессу с глубиной вариации амплитуды, пропорциональной отношению ширины кольца к его внешнему радиусу. Иная структура у карты смешанного сигнала - в выбранной размерности пространства отображения траектории укладываются в эллипсоид вращения с ориентацией и значением полуосей, зависящими от разности доплеровских частот магнитоионных компонент.

Визуализация реконструированного аттрактора рассматриваемого временного ряда после редуцирования размерности пространства, выполненного по методу главных компонент, до значения 2 представлена на рис. 6. Проекции на плоскость, полученные методом главных компонент, строго говоря, не могут быть названы фазовыми портретами, поскольку имеют множественные пересечения траекторий, и противоречат единственности решения системы динамических уравнений для изучаемого процесса. Частично такие пересечения определяются грубостью шага по времени (цикла измерения), частично - недостаточностью размерности выбранного отображения.

Рис. 6. Двумерная проекция реконструкции аттрактора первой и второй характеристической волны, их смеси и шума (a, b, c, d), а также соответствующих им шумовых компонент (e, f, g, h); по осям отложены две первые главные компоненты.

Представленные реконструкции аттракторов носят качественный характер, но позволяют детектировать «парциальные» структуры в фазовых портретах характеристических волн, - вложенные в окружность пересекающиеся эллипсоиды для первой характеристической волны и вложенные не пересекающиеся эллипсоиды - для второй.

Шум канала в условиях эксперимента (рис 5 d, 5 h) может быть аппроксимирован как система с бесконечным числом степеней свободы. Соответственно в аттракторах шума невозможно выделение ограниченного набора главных направлений и аттракторы не должны иметь регулярной формы, что хорошо иллюстрируют приведенные рисунки.