Принцип Ферма

Законы геометрической оптики: закон прямолинейного распространения света в оптически однородной среде, закон отражения и закон преломления света могут быть получены из принципа Ферма, который формулируется так:

В пространстве между двумя точками свет распространяется по такому пути, вдоль которого время его прохождения минимально.

Задача 2. Используя принцип Ферма, выведите закон отражения света.

Решение. Пусть свет от точечного источника S, отразившись от зеркала, попадает в точку P. Будем исходить из установленного ранее факта, что свет в однородной среде распространяется прямолинейно. Изменение направления происходит при отражении света от зеркала.

Рассмотрим произвольный ход луча SOP. Пусть угол между перпендикуляром к зеркалу OH и направлением падающего луча равен a, а угол между перпендикуляром к зеркалу и направлением отраженного луча равен b. Время между выходом из источника и достижением светом точки P равно длине ломаной SOP, деленной на скорость распространения c. Так как скорость распространения света везде одна и та же, минимальность времени прохождения траектории эквивалентна минимальности длины ломаной SOP. Таким образом, формулировка задачи об отыскании траектории минимального времени достижения точки P превращается в новую формулировку об отыскании кратчайшей траектории SOP.

Проведем геометрическое решение. Решение сводится к нахождению такого расположения точки O на зеркале, которое обеспечит минимальность длины ломаной SOP. Построим дополнительную точку S`, которая расположена симметрично точке S относительно поверхности зеркала. Из построения точки S` ясно, что длина ломаной SOP равна длине ломаной S`OP. Получаем еще одну формулировку задачи - надо найти такое положение точки O, которое обеспечит минимальность длины ломаной S`OP. Очевидно, что кратчайшее расстояние между точками S` и P - расстояние вдоль прямой, соединяющей эти точки. Искомое положение точки O находится на прямой, соединяющей точки S` и P. Из этого сразу становится ясным простое доказательство того, что падающий, отраженный лучи и перпендикуляр к отражающей поверхности лежат в одной и той же плоскости, и угол отражения равен углу падения.