2015-07-21
3571. Множества. Операции с множествами. Числовые множества. Точка сгущения числового множества. Изолированная точка числового множества. Замкнутые множества. Функция на числовом множестве. Область определения и изменения функции.
2. Окрестность точки 
, проколотая окрестность 
, правая окрестность 
, левая окрестность 
. Окрестность бесконечно удалённой точки 
, 
, 
.
3. Предел функции: определение и графическая иллюстрация. Теоремы о пределах (теоремы о пределе суммы, произведения, теорема о переделе сжатой переменной и т.п.). Понятие неопределенности, список неопределённостей. Односторонние пределы.
4. Раскрытие некоторых неопределённостей с помощью алгебраических преобразований (на примерах).
5. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.
6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (определение). Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций (эквивалентные функции, функции одного порядка, порядок одной функции относительно другой и т.п.). Главная часть б.б. и б.м. функций.
|
|
|
7. Теорема о замене функции на эквивалентную под знаком предела. Таблица эквивалентных функций. Раскрытие неопределённостей с использованием эквивалентных преобразований (на примерах).
8. Непрерывность функции в точке, определение. Точки разрыва и их классификация. Непрерывность функции на 
.
9. Приращение функции в точке. Определение производной. Геометрический смысл производной. Таблица производных. Правила дифференцирования (производная суммы, произведения, производная сложной функции и т.п.).
10. Дифференциал: определение, необходимое и достаточное условие существования, формула для вычисления, геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала.
11. Производные и дифференциалы высших порядков.
12. Правило Лопиталя.
13. Условия монотонности функции. Экстремум функции (определение, необходимое условие существования, достаточное условие существования).
14. Выпуклые и вогнутые функции (определение, достаточное условие выпуклости или вогнутости). Точки перегиба.
15. Асимптоты графика функции (определение, алгоритм нахождения).
16. Общая схема исследования функции и построения ее графика. Построение графика (на примерах).
17. Параметрические заданные функции, их производные.
18. Функция нескольких переменных на множестве 
. Частные производные: определение, вычисление. Дифференциал (определение, необходимое условие существования, формула для вычисления, инвариантность формы первого дифференциала).
19. Сложные функции. Производные сложных функций.
20. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формальный оператор 
и его использование при вычислении дифференциалов высших порядков.
|
|
|
21. Экстремум функций нескольких переменных, определение. Необходимое условие существования экстремума. Достаточное условие существования экстремума.
22. Формальные дифференциальные операторы 
и 
. Вычисление 
, 
, 
, 
(на примерах).
23. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Образцы стандартных примеров по разделу Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных:
- Найти
: 
, 
, 
- Найти
: 
; 
. 
, . - Найти
- Найти
, 
и т.п., если 
или 
. - Найти
, если 
. - Найти
, если 
или 
и т.п. - Вычислить, не пользуясь правилом Лопиталя:
. - Вычислить (в случае необходимости использовать правило Лопиталя).
; 
; 
; 
; 
.
- Построить график функции
. - Найти экстремумы функций:
; 
; 
. -
: 
. Найти 
и т.п.
· Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке 
.
-
. Найти 
. Найти 
в точке 
, если 
. Изобразить 
и на плоскости. - Найти экстремумы функции
. -
. Найти 
, 
.
