Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

1. Множества. Операции с множествами. Числовые множества. Точка сгущения числового множества. Изолированная точка числового множества. Замкнутые множества. Функция на числовом множестве. Область определения и изменения функции.

2. Окрестность точки , проколотая окрестность , правая окрестность , левая окрестность . Окрестность бесконечно удалённой точки , , .

3. Предел функции: определение и графическая иллюстрация. Теоремы о пределах (теоремы о пределе суммы, произведения, теорема о переделе сжатой переменной и т.п.). Понятие неопределенности, список неопределённостей. Односторонние пределы.

4. Раскрытие некоторых неопределённостей с помощью алгебраических преобразований (на примерах).

5. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.

6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (определение). Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций (эквивалентные функции, функции одного порядка, порядок одной функции относительно другой и т.п.). Главная часть б.б. и б.м. функций.

7. Теорема о замене функции на эквивалентную под знаком предела. Таблица эквивалентных функций. Раскрытие неопределённостей с использованием эквивалентных преобразований (на примерах).

8. Непрерывность функции в точке, определение. Точки разрыва и их классификация. Непрерывность функции на .

9. Приращение функции в точке. Определение производной. Геометрический смысл производной. Таблица производных. Правила дифференцирования (производная суммы, произведения, производная сложной функции и т.п.).

10. Дифференциал: определение, необходимое и достаточное условие существования, формула для вычисления, геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала.

11. Производные и дифференциалы высших порядков.

12. Правило Лопиталя.

13. Условия монотонности функции. Экстремум функции (определение, необходимое условие существования, достаточное условие существования).

14. Выпуклые и вогнутые функции (определение, достаточное условие выпуклости или вогнутости). Точки перегиба.

15. Асимптоты графика функции (определение, алгоритм нахождения).

16. Общая схема исследования функции и построения ее графика. Построение графика (на примерах).

17. Параметрические заданные функции, их производные.

18. Функция нескольких переменных на множестве . Частные производные: определение, вычисление. Дифференциал (определение, необходимое условие существования, формула для вычисления, инвариантность формы первого дифференциала).

19. Сложные функции. Производные сложных функций.

20. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формальный оператор и его использование при вычислении дифференциалов высших порядков.

21. Экстремум функций нескольких переменных, определение. Необходимое условие существования экстремума. Достаточное условие существования экстремума.

22. Формальные дифференциальные операторы и . Вычисление , , , (на примерах).

23. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Образцы стандартных примеров по разделу Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных:

• Найти : , ,
• Найти : ; . , .
• Найти
• Найти , и т.п., если или .
• Найти , если .
• Найти , если или и т.п.
• Вычислить, не пользуясь правилом Лопиталя: .
• Вычислить (в случае необходимости использовать правило Лопиталя).

; ; ; ; .

• Построить график функции .
• Найти экстремумы функций: ; ; .
• : . Найти и т.п.

· Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

• . Найти . Найти в точке , если . Изобразить и на плоскости.
• Найти экстремумы функции .
• . Найти , .