Лекция 11 Общая постановка однокритериальной задачи принятия решений

Пусть исход управляемого мероприятия зависит от выбранного решения (стратегии управления) и некоторых неслучайных фиксированных факторов, полностью известных лицу, принимающему решение. Стратегии управления могут быть представлены

в виде значений n -мерного вектора , на компоненты которою наложены ограничения, обуслов­ленные рядом естественных причин и имеющие вид

; (2.2)

,

где , некоторый массив фиксированных неслучайных параметров.

Условия (2.2) определяют область допустимых значений стратегий X.

Эффективность управления характеризуется некото­рым численным критерием оптимальности F:

, (2.3)

где C — массив фиксированных, неслучайных параметров. Массивы и C характеризуют свойства объектов, участвующих в управлении, и условия протекания управ­лении.

Перед лицом, принимающим решение, стоит задача выбора такого значения вектора управления из области его допустимых зна­чений, которое максимизирует значение критерия опти­мальности F, а также значение этого максимума

где область представляется условием (2.2).

В (2.4) символы и обозначают максимально до­стижимое в условиях (2.2) значение критерия оптималь­ности F и соответствующее ему оптимальное значение вектора управления X.

Совокупность соотношений (2.2), (2.3) и (2.4) пред­ставляет собой общий вид математической модели однокритериальной статической детерминированной ЗПР.

Задача в такой постановке полностью совпадает с общей постановкой задачи математического программи­рования. Поэтому весь арсенал методов, разработанных для решения задач математического программирования, может быть использован для решения задач принятия решений данного класса. Мы не будем здесь из-за не­достатка места останавливаться на обзоре соответствую­щих методов решения.

Рассмотрим пример однокритериальной статической детерминированной ЗПР.

Пусть необходимо отображать некоторое количество информационных моделей (например, картографическую информацию). Для отобра­жения любой из моделей всегда требуется решить п различных задач (отображение символов, отображение векторов, поворот и перемещение изображении, масштабирование и т.п.). Все задачи взаимно независимы. Для решения них задач могут быть использованы т различных микропроцессоров . В течение времени T микропроцессор , может решить , задач типа , т.е. решить задачу , несколько раз по одному и тому же алгоритму, но для различных исходных данных.

Информационную модель можно отображать только в том случае, если она содержит полный набор результатов решения всех задач .

Требуется распределить задачи по микропроцессором так, чтобы число информационных моделей, синтезированные за время Т, было максимально. Иначе говори, необходимо указать, какую часть времени Т микропроцессор должен занимать решением задачи ,.

Обозначим эту величину через (если эта задача не будет решать­ся на данном микропроцессоре, то ).

Очевидно, что общее время занятной каждого микропроцессора решением тех задач не должно превышать общего запаса времени T, «доля» — единицы. Таким образом, имеем следующие ограничительные условия:

Общее количество решений задачи , полученных всеми микро­процессорами вместе,

Так как информационная модель может быть синтезирована лишь из полного набора результатов решения всех задач, то количество информационных моделей F будет определяться минимальным из чисел .

Итак, имеем следующую математическую модель: требуется найти такие , чтобы обращалась в максимум функция F

при

Общая постановка однокритериалыюй статической задачи принятия решений в условиях риска. Как отмечалось, каждая выбранная стратегия управления в условиях риска связана с множеством возможных исходов, причем каждый исход имеет определенную вероятность появления, известную заранее человеку, принимающему решение.

При оптимизации решения в подобной ситуации стохастическую ЗПР сводят к детерминированной. Широ­ко используют при этом следующие два принципа: искус­ственное сведение к детерминированной схеме и оптими­зация в среднем.

В первом случае неопределенная, вероятностная кар­тина явления приближенно заменяется детерминирован­ной. Для этого все участвующие в задаче случайные факторы приближенно заменяются какими-то неслучай­ными характеристиками этих факторов (как правило, их математическими ожиданиями).

Этот прием используется в грубых, ориентировочных расчетах, а также в тех случаях, когда диапазон возмож­ных значений случайных величин сравнительно мал. В тех случаях, когда показатель эффективности управле­ния линейно зависит от случайных параметров, этот прием приводит к тому же результату, что и «оптимизация в среднем».

Прием «оптимизация в среднем» заключается в пере­ходе от исходного показателя эффективности Q, являюще­гося случайной величиной:

где X — вектор управления; А — массив детерминирован­ных факторов; — конкретные реализации слу­чайных фиксированных факторов к его осредненной, статической характеристике, например к его мате­матическому ожиданию M[Q]:

Здесь В — массив известных статистических характе­ристик случайных величин — закон распределения вероятностей случайных величин .

При оптимизации в среднем по критерию (2.5) в каче­стве оптимальной стратегии будет выбрана такая стратегия, которая, удовлетворяя ограничениям на об­ласть допустимых значений вектора X, максимизирует значение математического ожидания F = M[Q] исходного показателя эффективности Q, т. е.

В том случае, если число возможных стратегий i ко­нечно и число возможных исходов j конечно то выражение (2.6) переписывается в виде

где — значение показателя эффективности управления в случае появления j -го исхода при выборе i стратегии управления; — вероятность появления j -го исхода при реализации i -й стратегии.

Из выражений (2.6) и (2.7) следует, что оптимальная стратегия X приводит к гарантированному наилучшему результату только при многократном повторении ситуации в одинаковых условиях. Эффективность каждого отдель­ного выбора связана с риском и может отличаться от средней величины как в лучшую, так и в худшую сторону.

Сравнение двух рассмотренных принципов оптимиза­ции в стохастических ЗПР показывает, что они представ­ляют собой детерминизацию исходной задачи на разных уровнях влияния стохастических факторов. «Искусствен­ное сведение к детерминированной схеме» представляет собой детерминизацию на уровне факторов, «оптимизация в среднем» — на уровне показателя эффективности.

После выполнения детерминизации могут быть исполь­зованы все методы, применимые для решения однокритериальных статических детерминированных ЗПР.

Рассмотрим пример однокритериальной статической задачи при­нятия решений в условиях риска.

Для создания картографической базы данных необходимо кодиро­вать картографическую информацию. Использование поэлементного ко­дирования приводит к необходимости использования чрезвычайно больших объемов памяти. Известен ряд методов кодирования, позво­ляющих существенно сократить требуемый объем памяти [например, линейная интерполяции, интерполяция классическими многочленами, кубинские сплайны и т.д; см. кн. 4 настоящего сериала]. Основным показателем эффективности метода кодирования является коэффициент сжатия информации. Однако значение этого коэффициента зависит от вида кодируемой картографической информации (гидрография, границы административных районов, дорожная сеть и т. д). Обозначим через значение коэффициента сжатия i -го метода ко­дирования для /го вида информации. Конкретный район, подлежащий кодированию, заранее неизвестен. Однако предварительный анализ кар­тографической информации всего региона и опыт предыдущих разра­боток позволяют вычислить вероятность появления каждого из видов информации. Обозначим через , вероятность появления j -го вида,

Тогда, используя метод оптимизации в среднем, следует выбрать такой метод кодирования, для которого