Тангенциальная составляющая ускорения 34 страница

называемая дисперсией вещества, показывает, как быстро изменяется показатель прело­мления с длиной волны. Из рис. 269 следует, что показатель преломления для прозрач­ных веществ с уменьшением длины волны увеличивается; следовательно, величина dn/dl по модулю также увеличивается с уменьшением l. Такая дисперсия называется нормальной. Как будет показано ниже, ход кривой n (l) — кривой дисперсии — вблизи линий и полос поглощения будет иным: n уменьшается с уменьшением l. Такой ход зависимости n от l называется аномальной дисперсией.

На явлении нормальной дисперсии основано действие призменных спектрографов. Несмотря на их некоторые недостатки (например, необходимость градуировки, различ­ная дисперсия в разных участках спектра) при определении спектрального состава света, призменные спектрографы находят широкое применение в спектральном анали­зе. Это объясняется тем, что изготовление хороших призм значительно проще, чем изготовление хороших дифракционных решеток. В призменных спектрографах также легче получить большую светосилу.

§ 186. Электронная теория дисперсии светя

Из макроскопической электромагнитной теории Максвелла следует, что абсолютный показатель преломления среды

где e — диэлектрическая проницаемость среды, m — магнитная проницаемость. В оп­тической области спектра для всех веществ m»1, поэтому

(186.1)

Из формулы (186.1) выявляются некоторые противоречия с опытом: величина n, являясь переменной (см. § 185), остается в то же время равной определенной постоян­ной . Кроме того, значения n, получаемые из этого выражения, не согласуются с опытными значениями. Трудности объяснения дисперсии света с точки зрения элект­ромагнитной теории Максвелла устраняются электронной теорией Лоренца. В теории Лоренца дисперсия света рассматривается как результат взаимодействия электромаг­нитных волн с заряженными частицами, входящими в состав вещества и совершающи­ми вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны.

Применим электронную теорию дисперсии света для однородного диэлектрика, предположив формально, что дисперсия света является следствием зависимости e от частоты w световых волн. Диэлектрическая проницаемость вещества, по определению (см. (88.6) и (88.2)), равна

где { — диэлектрическая восприимчивость среды, e ₀ — электрическая постоянная, Р — мгновенное значение поляризованности. Следовательно,

(186.2)

т.е. зависит от Р. В данном случае основное значение имеет электронная поляризация, т.е. вынужденные колебания электронов под действием электрической составляющей поля волны, так как для ориентационной поляризации молекул частота колебаний в световой волне очень высока (n» 10¹⁵ Гц).

В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершают только внешние, наиболее слабо связанные с ядром электроны — оптические электроны. Для простоты рассмотрим колебания только одного оптического электрона. Наведенный дипольный момент электрона, совершающего вынужденные колебания, равен р=ех, где е — заряд электрона, х — смещение электрона под действием элект­рического поля световой волны. Если концентрация атомов в диэлектрике равна n ₀, то мгновенное значение поляризованности

(186.3)

Из (186.2) и (186.3) получим

(186.4)

Следовательно, задача сводится к определению смещения х электрона под действием внешнего поля Е. Поле световой волны будем считать функцией частоты w, т. е. изменяющимся по гармоническому закону: Е = Е ₀ cos w t.

Уравнение вынужденных колебаний электрона (см. §147) для простейшего случая (без учета силы сопротивления, обусловливающей поглощение энергии падающей волны) запишется в виде

(186.5)

где F ₀ = еЕ ₀ — амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны, — собственная частота колебаний электрона, т — масса электрона. Решив уравнение (186.5), найдем e = n ² в зависимости от констант атома (е, т, w ₀) и частоты w внешнего поля, т.е. решим задачу дисперсии. Решение уравнения (186.5) можно записать в виде

(186.6)

где

(186.7)

в чем легко убедиться подстановкой (см. (147.8)). Подставляя (186.6) и (186.7) в (186.4), получим

(186.8)

Если в веществе имеются различные заряды е_i, совершающие вынужденные колебания с различными собственными частотами w _{0 i} , то

(186.9)

где т, — масса i- го заряда.

Из выражений (186.8) и (186.9) вытекает, что показатель преломления n зависит от частоты w внешнего поля, т. е. полученные зависимости действительно подтверждают явление дисперсии света, хотя и при указанных выше допущениях, которые в даль­нейшем надо устранить. Из выражений (186.8) и (186.9) следует, что в области от w = 0 до w = w ₀ n ² больше единицы и возрастает с увеличением w (нормальная дисперсия); при w = w ₀ n ² = ±¥; в области от w = w ₀ до w = ¥ n ² меньше единицы и возрастает от –¥ до 1 (нормальная дисперсия). Перейдя от n ² к n, получим, что график зависимости n от w имеет вид, изображенный на рис. 270. Такое поведение n вблизи w ₀ — результат допущения об отсутствии сил сопротивления при колебаниях электро­нов. Если принять в расчет и это обстоятельство, то график функции n (w) вблизи w ₀ задастся штриховой линией АВ. Область АВ — область аномальной дисперсии (n убывает при возрастании w), остальные участки зависимости n от w описывают нормальную дисперсию (n возрастает с возрастанием w).

Российскому физику Д. С. Рождественскому (1876—1940) принадлежит классичес­кая работа по изучению аномальной дисперсии в парах натрия. Он разработал ин­терференционный метод для очень точного измерения показателя преломления паров и экспериментально показал, что формула (186.9) правильно характеризует зависи­мость n от w, а также ввел в нее поправку, учитывающую квантовые свойства света и атомов.

§ 187. Поглощение (абсорбция) света

Поглощением (абсорбцией) света называется явление уменьшения энергии световой волны при ее распространении в веществе вследствие преобразования энергии волны в другие виды энергии. В результате поглощения интенсивность света при прохождении через вещество уменьшается.

Поглощение света в веществе описывается законом Бугера*:

(187.1)

где I ₀ и I — интенсивности плоской монохроматической световой волны на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной х, a — коэффициент поглощения, зависящий от длины волны света, химической природы и состояния вещества и не зависящий от интенсивности света. При х= 1 /a интенсивность света I по сравнению с I ₀ уменьшается в е раз.

* П. Бугер (1698—1758) — французский ученый.

Коэффициент поглощения зависит от длины волны l (или частоты w) и для различных веществ различен. Например, одноатомные газы и пары металлов (т.е. вещества, в которых атомы расположены на значительных расстояниях друг от друга и их можно считать изолированными) обладают близким к нулю коэффициентом поглощения и лишь для очень узких спектральных областей (примерно 10^–12—10^–11 м) наблюдаются резкие максимумы (так называемый линейчатый спектр поглощения). Эти линии соответствуют частотам собственных колебаний электронов в атомах. Спектр поглощения молекул, определяемый колебаниями атомов в молеку­лах, характеризуется полосами поглощения (примерно 10^–10—10^–7 м).

Коэффициент поглощения для диэлектриков невелик (примерно 10^–3—10^–5 см^–1), однако у них наблюдается селективное поглощение света в определенных интервалах длин волн, когда a резко возрастает, и наблюдаются сравнительно широкие полосы поглощения, т.е. диэлектрики имеют сплошной спектр поглощения. Это связано с тем, что в диэлектриках нет свободных электронов и поглощение света обусловлено явлени­ем резонанса при вынужденных колебаниях электронов в атомах и атомов в молекулах диэлектрика.

Коэффициент поглощения для металлов имеет большие значения (примерно 10³—10⁵ см^–1) и поэтому металлы являются непрозрачными для света. В металлах из-за наличия свободных электронов, движущихся под действием электрического поля световой волны, возникают быстропеременные токи, сопровождающиеся выделением джоулевой теплоты. Поэтому энергия световой волны быстро уменьшается, превраща­ясь во внутреннюю энергию металла. Чем выше проводимость металла, тем сильнее в нем поглощение света.

На рис. 271 представлены типичная зависимость коэффициента поглощения a от длины волны света l и зависимость показателя преломления n от l в области полосы поглощения. Из рисунка следует, что внутри полосы поглощения наблюдается ано­мальная дисперсия (n убывает с уменьшением l). Однако поглощение вещества должно быть значительным, чтобы повлиять на ход показателя преломления.

Зависимостью коэффициента поглощения от длины волны объясняется окрашенность поглощающих тел. Например, стекло, слабо поглощающее красные и оранжевые лучи и сильно поглощающее зеленые и синие, при освещении белым светом будет казаться красным. Если на такое стекло направить зеленый и синий свет, то из-за сильного поглощения света этих длин волн стекло будет казаться черным. Это явление используется для изготовления светофильтров, которые в зависимости от химического состава (стекла с присадками различных солей, пленки из пластмасс, содержащие красители, растворы красителей и т. д.) пропускают свет только определенных длин волн, поглощая остальные. Разнообразие пределов селективного (избирательного) поглощения у различных веществ объясняет разнообразие и богатство цветов и красок, наблюдающееся в окружающем мире.

Явление поглощения широко используется в абсорбционном спектральном анализе смеси газов, основанном на измерениях спектров частот и интенсивностей линий (полос) поглощения. Структура спектров поглощения определяется составом и стро­ением молекул, поэтому изучение спектров поглощения является одним из основных методов количественного и качественного исследования веществ.

§ 188. Эффект Доплера

Эффект Доплера в акустике (см. § 159) объясняется тем, что частота колебаний, воспринимаемых приемником, определяется скоростями движения источника колеба­ний и приемника относительно среды, в которой происходит распространение звуко­вых волн. Эффект Доплера наблюдается также и при движении относительно друг друга источника и приемника электромагнитных волн. Таккак особой среды, служащей носителем электромагнитных волн, не существует, то частота световых волн, вос­принимаемых приемником (наблюдателем), определяется только относительной ско­ростью источника и приемника (наблюдателя). Закономерности эффекта Доплера для электромагнитных волн устанавливаются на основе специальной теории относитель­ности.

Согласно принципу относительности Эйнштейна (см. § 35), уравнение световой волны во всех инерциальных системах отсчета одинаково по форме. Используя преоб­разования Лоренца (см. § 36), можно получить уравнение волны, посылаемой источни­ком, в направлении приемника в другой инерциальной системе отсчета, а следователь­но, и связать частоты световых воли, излучаемых источником (n ₀) и воспринимаемых приемником (n). Теория относительности приводит к следующей формуле, описыва­ющей эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме:

(188.1)

где v — скорость источника света относительно приемника, с — скорость света в ваку­уме, b=v/c, q — угол между вектором скорости v и направлением наблюдения, из­меряемый в системе отсчета, связанной с наблюдателем. Из выражения (188.1) следует, что при q = 0

(188.2)

Формула (188.2) определяет так называемый продольный эффект Доплера, наблюда­емый при движении приемника вдоль линии, соединяющей его с источником. При малых относительных скоростях v (v <<c), разлагая (188.2) в ряд по степеням b и пpeнeбрегая членом порядка b ², получим

(188.3)

Следовательно, при удалении источника и приемника друг от друга (при их положительной относительной скорости) наблюдается сдвиг в более длинноволновую область (n < n ₀, l > l ₀) — так называемое красное смещение. При сближении же ис­точника и приемника (при их отрицательной относительной скорости) наблюдается сдвиг в более коротковолновую область ((n > n ₀, l < l ₀) — так называемое фиолетовое смещение.

Если q = p /2, то выражение (188.1) примет вид

(188.4)

Формула (188.4) определяет так называемый поперечный эффект Доплера, наблю­даемый при движении приемника перпендикулярно линии, соединяющей его с источником.

Из выражения (188.4) следует, что поперечный эффект Доплера зависит от b ², т.е. при малых b является эффектом второго порядка малости по сравнению с продольным эффектом, зависящим от b (см. (188.3)). Поэтому обнаружение поперечного эффекта Доплера связано с большими трудностями. Поперечный эффект, хотя и много меньше продольного, имеет принципиальное значение, так как не наблюдается в акустике (при v << с из (188.4) следует, что n = n ₀!), и является, следовательно, релятивистским эффек­том. Он связан с замедлением течения времени движущегося наблюдателя. Экс­периментальное обнаружение поперечного эффекта Доплера явилось еще одним под­тверждением справедливости теории относительности; он был обнаружен в 1938 г. в опытах американского физика Г. Айвса.

Продольный эффект Доплера был впервые обнаружен в 1900 г. в лабораторных условиях русским астрофизиком А. А. Белопольским (1854—1934) и повторен в 1907 г. русским физиком Б. Б. Голицыным (1862—1919). Продольный эффект Доплера ис­пользуется при исследовании атомов, молекул, а также космических тел, так как по смещению частоты световых колебаний, которое проявляется в виде смещения или уширения спектральных линий, определяется характер движения излучающих частиц или излучающих тел. Эффект Доплера получил широкое распространение в радиотех­нике и радиолокации, например в радиолокационных измерениях расстояний до движу­щихся объектов.

§ 189. Излучение Вавилова — Черенкова

Российский физик П. А. Черенков (1904—1990), работавший под руководством Вави­лова, показал, что при движении релятивистских заряженных частиц в среде с постоян­ной скоростью v, превышающей фазовую скорость света в этой среде, т. е. при условии v>c/n (n— показатель преломления среды), возникает электромагнитное излучение, названное впоследствии излучением (эффектом) Вавилова — Черенкова. Природа дан­ного излучения, обнаруженного для разнообразных веществ, в том числе и для чистых жидкостей, подробно изучалась С. И. Вавиловым. Он показал, что данное свечение не является люминесценцией (см. § 245), как считалось ранее, и высказал предположение, что оно связано с движением свободных электронов сквозь вещество.

Излучение Вавилова — Черенкова в 1937 г. было теоретически объяснено российс­кими учеными И. Е. Таммом (1895—1971) и И. М. Франком (р. 1908) (Черенков, Тамм и Франк в 1958 г. удостоены Нобелевской премии).

Согласно электромагнитной теории, заряженная частица (например, электрон) излучает электромагнитные волны лишь при движении с ускорением. Тамм и Франк показали, что это утверждение справедливо только до тех пор, пока скорость заряжен­ной частицы не превышает фазовой скорости с / n электромагнитных волн в среде, в которой частица движется. Если частица обладает скоростью v>c/n, то, даже двигаясь равномерно, она будет излучать электромагнитные волны. Таким образом, согласно теории Тамма и Франка, электрон, движущийся в прозрачной среде со скоростью, превышающей фазовую скорость света в данной среде, должен сам излу­чать свет.

Отличительной особенностью излучения Вавилова — Черенкова является его рас­пространение не по всем направлениям, а лишь по направлениям, составляющим острый угол q c траекторией частицы, т. е. вдоль образующих конуса, ось которого совпадает с направлением скорости частицы. Определим угол q:

(189.1)

Возникновение излучения Вавилова — Черенкова и его направленность истолкованы Франком и Таммом на основе представлений об интерференции света с использовани­ем принципа Гюйгенса.

На основе излучения Вавилова — Черенкова разработаны широко используемые экспериментальные методы для регистрация частиц высоких энергий и определения их свойств (направление движения, величина и знак заряда, энергия). Счетчики для регистрации заряженных частиц, в которых используется излучение Вавилова — Чере­нкова, получили название черенковских счетчиков. В этих счетчиках частица регист­рируется практически мгновенно (при движении заряженной частицы в среде со скоро­стью, превышающей фазовую скорость света в данной среде, возникает световая вспышка, преобразуемая с помощью фотоэлектронного умножителя (см. § 105) в им­пульс тока). Это позволило в 1955 г. итальянскому физику Э. Сегре (р. 1905) открыть в черенковском счетчике короткоживущую античастицу — антипротон.

Задачи

24.1. На грань стеклянной призмы (n =1,5) нормально падает луч света. Определить угол отклонения луча призмой, если ее преломляющий угол равен 25°. [14°21’]

24.2. При прохождении света в некотором веществе пути х его интенсивность уменьшилась в два раза. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении им пути 4 х. [В 16 раз]

24.3. Источник монохроматического света с длиной волны l ₀=0,6 мкм движется по направле­нию к наблюдателю со скоростью v =0,15 с (с — скорость света в вакууме). Определить длину волны l, которую зарегистрирует приемник. [516 нм]

24.4. Определить минимальную кинетическую энергию (в мегаэлектрон-вольтах), которой дол­жен обладать электрон, чтобы в среде с показателем преломления п =1,5 возникло излучение Вавилова — Черенкова. [0,17 МэВ]

Глава 25Поляризация света

§ 190. Естественный и поляризованный свет

Следствием теории Максвелла (см. § 162) является поперечность световых волн: векторы напряженностей электрического Е и магнитного Н полей волны взаимно перпендикулярны и колеблются перпендикулярно вектору скорости v распространения волны (перпендикулярно лучу). Поэтому для описания закономерностей поляризации света достаточно знать поведение лишь одного из векторов. Обычно все рассуждения ведутся относительно светового вектора — вектора напряженности Е электрического поля (это название обусловлено тем, что при действии света на вещество основное значение имеет электрическая составляющая поля волны, действующая на электроны в атомах вещества).

Свет представляет собой суммарное электромагнитное излучение множества атомов. Атомы же излучают световые волны независимо друг от друга, поэтому световая волна, излучаемая телом в целом, характеризуется всевозможными равнове­роятными колебаниями светового вектора (рис. 272, а; луч перпендикулярен плоскости рисунка). В данном случае равномерное распределение векторов Е объясняется боль­шим числом атомарных излучателей, а равенство амплитудных значений векторов Е — одинаковой (в среднем) интенсивностью излучения каждого из атомов. Свет со всевозможными равновероятными ориентациями вектора Е (и, следовательно, Н) называется естественным.

Свет, в котором направления колебаний светового вектора каким-то образом упорядочены, называется поляризованным. Так, если в результате каких-либо внешних воздействий появляется преимущественное (но не исключительное!) направление коле­баний вектора Е (рис. 272, б),то имеем дело с частично поляризованным светом. Свет, в котором вектор Е (и, следовательно, Н) колеблется только в одном направлении, перпендикулярном лучу (рис. 272, в), называется плоскополяризованным (линейно поляризованным).

Плоскость, проходящая через направление колебаний светового вектора плоскополяризованной волны и направление распространения этой волны, называется плоско­стью поляризации. Плоскополяризованный свет является предельным случаем эллиптически поляризованного света — света, для которого вектор Е (вектор Н) изменяется со временем так, что его конец описывает эллипс, лежащий в плоскости, перпен­дикулярной лучу. Если эллипс поляризации вырождается (см. § 145) в прямую (при разности фаз j, равной нулю или p), то имеем дело с рассмотренным выше плоскополяризованным светом, если в окружность (при j = ± p /2 и равенстве амплитуд склады­ваемых волн), то имеем дело с циркулярно поляризованным (поляризованным по кругу) светом.

Степенью поляризации называется величина

где I_max, и I_min — соответственно максимальная и минимальная интенсивности частично поляризованного света, пропускаемого анализатором. Для естественного света I_max = I_min и Р= 0, для плоскополяризованного I_min =0 и Р= 1.

Естественный свет можно преобразовать в плоскополяризованный, используя так называемые поляризаторы, пропускающие колебания только определенного направле­ния (например, пропускающие колебания, параллельные главной плоскости поляриза­тора, и полностью задерживающие колебания, перпендикулярные этой плоскости). В качестве поляризаторов могут быть использованы среды, анизотропные в отношении колебаний вектора Е, например кристаллы (их анизотропия известна, см. § 70). Из природных кристаллов, давно используемых в качестве поляризатора, следует от­метить турмалин.

Рассмотрим классические опыты с турмалином (рис. 273). Направим естественный свет перпендикулярно пластинке турмалина T ₁, вырезанной параллельно так называ­емой оптической оси ОО' (см. § 192). Вращая кристалл T ₁ вокруг направления луча, никаких изменений интенсивности прошедшего через турмалин света не наблюдаем. Если на пути луча поставить вторую пластинку турмалина T ₂ и вращать ее вокруг направления луча, то интенсивность света, прошедшего через пластинки, меняется в зависимости от угла к между оптическими осями кристаллов по закону Малюса*:

(190.1)

где I ₀ и I — соответственно интенсивности света, падающего на второй кристалл и вышедшего из него.

* Э. Малюс (1775—1812) — французский физик.

Следовательно, интенсивность прошедшего через пластинки света изменится от минимума (полное гашение света) при a=p /2 (оптические оси пластинок перпендикулярны) да максимума при a =0 (оптические оси пластинок парал­лельны). Однако, как это следует из рис. 274, амплитуда Е световых колебаний, прошедших через пластинку Т ₂, будет меньше амплитуды световых колебаний Е ₀, падающих на пластинку T ₂.

Так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, то и получается выражение (190.1).

Результаты опытов с кристаллами турмалина объясняются довольно просто, если исходить из изложенных выше условий пропускания света поляризатором. Первая пластинка турмалина пропускает колебания только определенного направления (на рис. 273 это направление показано стрелкой AВ), т. е. преобразует естественный свет в плоскополяризованный. Вторая же пластинка турмалина в зависимости от ее ориен­тации из поляризованного света пропускает большую или меньшую его часть, которая соответствует компоненту Е, параллельному оси второго турмалина. На рис. 273 обе пластинки расположены так, что направления пропускаемых ими колебаний АВ и А'В' перпендикулярны друг другу. В данном случае Т ₁ пропускает колебания, направленные по АВ, а Т ₂ их полностью гасит, т.е. за вторую пластинку турмалина свет не проходит.

Пластинка Т ₁, преобразующая естественный свет в плоскополяризованный, являет­ся поляризатором. Пластинка Т ₂, служащая для анализа степени поляризации света, называется анализатором. Обе пластинки совершенно одинаковы (их можно поменять местами).

Если пропустить естественный свет через два поляризатора, главные плоскости которых образуют угол a, то из первого выйдет плоскополяризованный свет, интенсив­ность которого I ₀ = ¹/₂ I _ест, из второго, согласно (190.1), выйдет свет интенсивностью I=I ₀cos² a. Следовательно, интенсивность света, прошедшего через два поляризатора,

откуда I ₀ = ¹/₂ I _ест (поляризаторы параллельны) и I _min = 0 (поляризаторы скрещены).

§ 191. Поляризация света при отражении и преломлении на границе двух диэлектриков

Если естественный свет падает на границу раздела двух диэлектриков (например, воздуха и стекла), то часть его отражается, а часть преломляется в распространяется во второй среде. Устанавливая на пути отраженного и преломленного лучей анализатор (например, турмалин), убеждаемся в том, что отраженный и преломленный лучи частично поляризованы: при поворачивании анализатора вокруг лучей интенсивность света периодически усаливается и ослабевает (полного гашения не наблюдается!). Дальнейшие исследования показали, что в отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные плоскости падения (на рис. 275 они обозначены точками), в прелом­ленном — колебания, параллельные плоскости падения (изображены стрелками).