2015-07-14
310
Средняя арифметическая величина обладает многими математическими свойствами, имеющими важное математическое значение при ее расчёте. Знание этих свойств помогают контролировать правильность и точность расчёта средней варианты, способствует упрощению процесса расчёта среднего значения признака.
Первое свойство. Алгебраическая сумма отклонения обозначить через 
; …..; 
Сумма всех индивидуальных отклонений, например, в ранжированном ряду будет: 
Поскольку 
Первое свойство теоретически показывает и по отношению к средней арифметической взвешенной. В этом случае сумма взвешенных положительных отклонений от среднего значения признака равняется сумме отрицательных отклонений, а общая сумма всех отклонений равна нулю, т.е. Σ (х-х) f=0.
Первое свойство используется обычно для проверки правильности расчёта средней арифметической величины.
Второе свойство. Величина средней не изменится, если частоты (частости) или веса при каждой варианте признака увеличится или уменьшится в одинаковое число раз.
|
|
|
Действительно, если 
то, например умножив все частоты на постоянную величину α, получим ту же величину средней:
Третье свойство. Если все индивидуальные варианты вариационного ряда увеличить или уменьшить на постоянное число, то средняя величина увеличится или уменьшится на это же число. Обычно в качестве постоянного числа выбирается варианта, расположенная в середине вариационного ряда, что позволяет значительно упростить нахождение средней. Расчёт средней арифметической величины с применением этого свойства, принято называть методом моментов.
Четвёртое свойство. Произведение средней величины на накопленную сумму частот равняется сумме произведения каждой варианты на ее частоту, т.е. 
Это свойство вытекает из формулы арифметической взвешенной величины, т.е. если
В сельскохозяйственной сфере АПК, например, произведения средней урожайности на общую посевную площадь даст валовой сбор, а произведение среднегодового удоя на общее поголовье коров позволяет получить валовой надой молока.
