Лабораторна робота №7

9 10 11 12 13 14 15

знаходження екстремальних значень ФУНКЦІЇ градієнтними методами (4 год.)

1 МЕТА РОБОТИ

1 Вивчення основних визначень і положень одномірної мінімізації.

2 Вивчення основних методів чисельного розв’язку задач одномірної мінімізації.

3 Розроблення і розв’язок на ЕОМ задачі мінімізації функцій багатьох змінних.

2 КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

В основі градієнтних методів лежать необхідні і достатні умови існування мінімуму функції багатьох змінних.

Нехай необхідно розв’язати задачу

(7.1)

Необхідними умовами того, що - точка локального мінімуму є:

1) функція має часткові похідні у точці ;

2) градієнт функції у точці є нульовим вектором.

Достатніми умовами існування розв’язку задачі є вимога додатної визначеності матриці Гессе

Визначення. Будь-яка квадратна матриця додатньо визначена, якщо всі її діагональні визначники більші нуля.

Коли обчислення похідних функції не становить принципових труднощів, то рекомендуються градієнтні методи мінімізації функції , які порівняно з методами прямого пошуку мають вищу швидкість збіжності. Існує велика кількість методів мінімізації, в яких для пошуку напрямку руху до мінімуму функції використовують градієнт .

Узагальнена схема розв’язування задачі мінімізації градієнтним методом.

В усіх градієнтних методах будується ітераційний процес так, що в напрямку градієнта функції критерій оптимальності зменшує своє значення при переході від k до k+1 ітерації. Методи, які задовольняють ці умови називаються методами спуску. Усі ці методи мають узагальнюючу схему.

Sp.1. Вибрати початкову (стартову) точку .

Sp.2. Перевірити умови зупинок, і якщо вони виконуються, обчислення припинити і прийняти як розв’язок задачі, в іншому ж випадку перейти до наступного кроку.