функциональных рядов

Поточечная (простая)сходимость функциональных последовательностей и

функциональных рядов

Пусть все функции f_n (x), n Î N, определены на множестве X Ì R и пусть x_o Î R.

f_n: D _n ® R, , .

Определение. Если числовая последовательность N, сходится, то говорят, что последовательность функций N, сходится в точке x_o Î X.

Определение. Последовательность функций N, сходится на множестве

E Ì X, если N, сходится в каждой точке этого множества.

Такую сходимость на множестве Е называют п о т о ч е ч н о й.

Множество E Ì X точек, в которых последовательность N, сходится называют множеством сходимости последовательности N.

Пусть на множестве E сходимости последовательности N, определена функция f: E ® R, значение которой в любой точке x Î E равно пределу последовательности N.

Функцию f (x) называют предельной функцией последовательности N,

или пределом последовательности функций N и пишут

при

или

при .

По определению предела для любого найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство

,

которое можно записать в виде

.

Пример 1. Функциональная последовательность R.

Пример 2. Функциональная последовательность .

Пример 3. Функциональная последовательность

Пусть N -функциональная последовательность, определённая на множестве

X Ì R.

f_n: D _n ® R, , .

Определение. Формальная б е с к о н е ч н а я сумма вида

f₁ (x) + f₂ (x) + …+ f_n (x) + …

называется функциональным рядом, определённым на множестве X Ì R и

обозначается или просто .

Фиксируя какое-либо значение x_o Î X получаем обычный числовой ряд .

Определение. Если при фиксированном x_o Î X числовой ряд

сходится, то говорят, что функциональный ряд

сходится в точке x_o Î X.

Определение. Функциональный ряд сходится на множестве

E Ì X, если он сходится в каждой точке этого множества.

Такую сходимость на множестве Е называют п о т о ч е ч н о й.

Множество E Ì X точек, в которых функциональный ряд

сходится, называют множеством сходимости функционального ряда .

Область сходимости может иметь довольно сложную структуру.

В конкретных ситуациях область сходимости может совпадать с областью определения,

область сходимости может быть частью области определения, а может вообще быть

пустым множеством.

Пусть на множестве E сходимости функционального ряда определена функция S_n (x) = f₁ (x) + f₂ (x) + …+ f_n (x),

(),

которую называют n - ой частичной суммой функционального ряда.

Каждый функциональный ряд является парой двух функциональных

последовательностей N и N, между которыми устанавливается

взаимно однозначное соответствие: .

Поэтому каждое свойство функциональных последовательностей перефразируется в некоторое свойство функциональных рядов.

Определение. Функциональный ряд сходится на множестве

E Ì X, если он функциональная последовательность N сходится на множестве E Ì X.

Определение. Если функциональная последовательность N сходится и

S (x) - её п р е д е л ь н а я ф у н к ц и я, то S (x) называют суммой функционального ряда .

Функция S (x) определена на множестве E - области сходимости функционального ряда .

Важно знать какими свойствами обладает функция S (x).

Главные среди этих свойств: непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость.

Пример 4. Функциональный ряд , X = (-1; 1).

Остаток сходящегося функционального ряда r _n (x), N, представляет собой некоторую функцию . при в любой точке x Î E.

Многие свойства суммы S (x) связаны с поведением остатка r _n (x).

§ 2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и функциональных рядов.

§ 3. Критерии равномерной сходимости функциональных последовательностей и

функциональных рядов.

3.1. Критерий равномерной сходимости функциональных последовательностей и

функциональных рядов.

3.2. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и

функциональных рядов.