Фрактальное сжатие

Упрощённо фрактал - это структура, состоящая из подобных форм и рисунков разных масштабов и размеров. Этот термин впервые ввёл Бенуа Мальдеброт для описания повторяющихся рисунков, которые он нашёл во многих различных структурах. Он обнаружил, что фракталы можно описать математически и создавать при помощи очень простых алгоритмов.

Фрактальная архивация основана на том, что мы представляем изображение в более компактной форме - с помощью коэффициентов системы итерируемых функций (Iterated Function System - далее по тексту как IFS). Прежде чем рассматривать сам процесс архивации, разберем, как IFS строит изображение, т.е. процесс декомпрессии.

Строго говоря, IFS представляет собой набор трехмерных аффинных преобразований, в нашем случае переводящих одно изображение в другое. Преобразованию подвергаются точки в трехмерном пространстве (х_координата, у_координата, яркость).

Наиболее наглядно этот процесс продемонстрировал Барнсли в своей книге "Fractal Image Compression". Там введено понятие Фотокопировальной Машины, состоящей из экрана, на котором изображена исходная картинка, и системы линз, проецирующих изображение на другой экран:

· Линзы могут проецировать часть изображения произвольной формы в любое другое место нового изображения.

· Области, в которые проецируются изображения, не пересекаются.

· Линза может менять яркость и уменьшать контрастность.

· Линза может зеркально отражать и поворачивать свой фрагмент изображения.

· Линза должна (масштабировать) уменьшать свой фрагмент изображения.

Расставляя линзы и меняя их характеристики, мы можем управлять получаемым изображением. Одна итерация работы Машины заключается в том, что по исходному изображению с помощью проектирования строится новое, после чего новое берется в качестве исходного. Утверждается, что в процессе итераций мы получим изображение, которое перестанет изменяться. Оно будет зависеть только от расположения и характеристик линз и не будет зависеть от исходной картинки. Это изображение называется "неподвижной точкой" или аттрактором данной IFS. Соответствующая теория гарантирует наличие ровно одной неподвижной точки для каждой IFS.

Поскольку отображение линз является сжимающим, каждая линза в явном виде задает самоподобные области в нашем изображении. Благодаря самоподобию мы получаем сложную структуру изображения при любом увеличении. Таким образом, интуитивно понятно, что система итерируемых функций задает фрактал (нестрого - самоподобный математический объект).Наиболее известны два изображения, полученных с помощью IFS: "треугольник Серпинского" и "папоротник Барнсли". "Треугольник Серпинского" задается тремя, а "папоротник Барнсли" четырьмя аффинными преобразованиями (или, в нашей терминологии, "линзами"). Каждое преобразование кодируется буквально считанными байтами, в то время как изображение, построенное с их помощью, может занимать и несколько мегабайт.

Большинство алгоритмов фрактального сжатия запатентованы и закрыты для свободного использования в программах.