Производные высших порядков

ПП 11. Производная Функции

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

Производной функции в точке называется при условии, что он существует. Обозначение: .

Геометрический смысл производной.

Уравнение касательной к кривой в точке :

.

Тангенс угла наклона касательной к оси ОХ:

Уравнение нормали имеет вид:

.

Правила и формулы дифференцирования

1) , ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , .

Производная обратной функции:

Производная сложной функции:

, тогда

Таблица производных

		.

Производные высших порядков

Производная второго порядка:

Производная -го порядка: или

Логарифмическая производная:

, .

Производная неявной функции:

, .

Для отыскания второй производной соотношение дифференцируем два раза по переменной , считая функцией , и выражаем как функцию и .

Производные функции, заданной параметрически:

- первая,

вторая.

Правила вычисления производной n -го порядка

1. .

2. Формула Лейбница (производная произведения):

где , .

пп 11. Теоретические Упражнения
ТУ ПП 11. №1.	Пользуясь только определением производной, найдите производную функции РЕШЕНИЕ: , , .
ТУ ПП 11. №2.	Для заданной , найдите и . Решение: Имеем и .	1,0
ТУ ПП 11. №3.	Пусть . Найдите коэффициенты и такие, чтобы функция была непрерывна и дифференцируема в любой точке. Решение: Рассмотрим поведение в окрестности точки . Пусть , . Тогда для непрерывности необходимо , . Для дифференцируемости необходимо , , , . Решая полученную систему для коэффициентов квадратичной функции, получаем , .	, .
ТУ ПП 11. №4.	Докажите, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной – функция четная. Решение: . Пусть четна, . Тогда (обозначим , при ) , нечетна. Если нечетна, , то , четна.
ТУ ПП 11. №5.	Пусть – функция, обратная заданной . Выразите через и , если . Решение: Если , то ; , . Обозначая аргумент обратной функции через , получаем .
ТУ ПП 11. №6.	Покажите, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению . Решение: , . .
пп 11. Производная Функции
ПП 11. №1.	Найдите , если . Решение: .
ПП 11. №2.	Найдите , если . Решение:
ПП 11. №3.	Найдите , если . Решение: .
ПП 11. №4.	Найдите , если . Решение:
ПП 11. №5.	Найдите , если . Решение: .
ПП 11. №6.	Найдите , если Решение: .
ПП 11. №7.	Найдите , если . Решение:
ПП 11. №8.	Найдите , если . Решение: Применяем метод логарифмического дифференцирования.
ПП 11. №9.	Найдите , если . Решение:
ПП 11. №10.	Найдите , если . Решение:
ПП 11. №11.	Вычислите производную функции , заданной параметрически. Решение: Воспользуемся формулой для производной функции, заданной параметрически: Вычислим производные по переменной : отсюда	-1
ПП 11. №12.	Найдите , если Решение:
ПП 11. №13.	Составьте уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Решение: ; . Уравнение касательной: . Уравнение нормали: .
ПП 11. №14.	Составьте уравнение касательной к графику функции: в точке . Решение: . При Уравнение касательной или .
ПП 11. №15.	Найдите производную функции , если она задана неявно уравнением . Решение: Дифференцируем равенство по : . Отсюда .
ПП 11. №16.	, если . Решение:
ПП 11. №17.	Найдите производную n – го порядка от функции . Решение: Таким образом, в формуле Лейбница всего 3 ненулевых члена. Вычисляем коэффициенты:
ПП 11. №18.	, если Решение: Воспользуемся формулой Лейбница. . В формуле Лейбница ненулевыми будут только два слагаемых: при ; .
ПП 11. №19.	Найдите и функции, заданной параметрически: , , . Решение: , . . . ; , . .	или . или ,
ПП 11. №20.	Найдите и функции, заданной неявно: . Решение: дифференцируем уравнение по : , , , Используя , получаем . Повторно дифференцируя по , получаем .	, .