Теорема.
Доказательство:
Пусть , определена и непрерывна в окрестности точки (, определена и непрерывна в окрестности точки . Тогда .
Это верно при условии, что каждая из функций дифференцируема.
Теорема о производной обратной функции.
Теорема.
Доказательство:
Пусть дифференцируемая в точке (). - обратная к . Обратная функция существует если монотонная функция. Тогда
Производная сложной степенной функции.
Прием логарифмического дифференцирования.
Производная неявной функции.
– общий вид неявно заданной функции.
Производная параметрически заданной функции.
Примеры параметрических функций:
1)
2)
3)
– дифференцируемы.
Пример:
Гиперболические функции.
(гиперболический синус) | arsh x (ареа синус) |
(гиперболический косинус) | arсh x (ареа косинус) |
(гиперболический тангенс) | arth x (ареа тангенс) |
(гиперболический котангенс) | arcth x (ареа котангенс) |
Схематичные графики гиперболических функций:
Производные высших порядков.
|
|
Механический смысл второй производной – это ускорение.
Геометрический смысл второй производной – отвечает за вогнутость или выпуклость графика функции.