2015-07-14
330
, где 
и 
называется первообразной.
1. 
2. 
. 4. 
| № | Табличные интегралы | № | Табличные интегралы |
 .
| 
| ||
|  .
| ||
|  .
| ||
| 
| ||
 .
| 
| ||
 .
| 
| ||
 .
|  .
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
 .
|  .
|
Определенный интеграл: 
.
Формула Ньютона-Лейбница: 
, частн. сл. 
.
| Способы вычисления неопределенного интеграла | ||||||||||||
| Замена переменной |  .
Частный случай:    .
| |||||||||||
| Метод подстановки |  .
| |||||||||||
| Интегрирование по частям | 
| |||||||||||
1.  ;
 ;
 ;
 .
|  ,
где  – многочлен степени n.
| |||||||||||
2.  ,
 .
|  ;
 .
| |||||||||||
3.  ;
 ;
 ;
 .
|  ,
n раз интегрировать по частям.
| |||||||||||
4.  ;
 ;
 ;
 .
|  ,
Дважды проинтегрировав по частям,
получим в результате искомый интеграл. Составить уравнение из исходного выражения и полученного, где роль переменной играет искомый интеграл. Выражая искомый интеграл, получить ответ.
| |||||||||||
| Интегрирование рациональных функций | ||||||||||||
 , где  - многочлены соответственно степени  и  .
| ||||||||||||
Если  – неправильная дробь (  ), то необходимо выделить целую часть:  , где  – правильная дробь.
| ||||||||||||
Знаменатель разложить на линейные и квадратичные множители, для последних дискриминант   :
 .
| ||||||||||||
Правильную дробь всегда можно разложить на простейшие дроби типа:
1)  , 2)  , 3)  , 4)  ,  .
 
После умножения на  искомые коэффициенты разложения находятся из условия тождественного равенства двух многочленов.
Для линейных множителей:  коэффициенты можно вычислить по формулам:
 ,  ,  , …,  , …
| ||||||||||||
| Интегрирование простейших дробей | ||||||||||||
| тип | вид | замена | вычисление | |||||||||
| 
| 
| ||||||||||
|
| 
| ||||||||||
| 3а) | 
| выделяем квадрат трехчлена знаменателя
 
|  – табличный интеграл (см. 16 или 19).
| |||||||||
| 3b) | 
| выделить квадрат трехчлена знаменателя
|  
 .
1-ый интеграл:  ,
2-ой – табличный интеграл
(см. 16 или 19).
| |||||||||
| 4а) | 
| выделить квадрат трехчлена знаменателя
|  
2-ой интеграл интегрируем по частям, где  , он сведется к виду 1-ого, имеющего степень на единицу меньше. Повторяя процесс, приходим к табличному интегралу: 3а) или 3b).
| |||||||||
| 4b) | 
| выделить квадрат трехчлена знаменателя
|  
1-ый интеграл:  ,
2-ой – см. тип 4а).
| |||||||||
| Интегрирование тригонометрических выражений | ||||||||||||
| вид | замена | частные случаи | ||||||||||
| Универсальная замена:
| |||||||||||
|
|   , т.е.
функция нечетная относительно  ,
то   .
|  ,
 .
| ||||||||||
|
|  , т.е.
функция нечетная относительно  ,
то   .
|  ,
 .
| ||||||||||
|
|   функция четная одновременно относительно и , то
| |||||||||||
| Использовать формулы:
| |||||||||||
 .
| ||||||||||||
 .
| ||||||||||||
 .
| ||||||||||||
|  .
| |||||||||||
| Интегрирование иррациональных выражений | ||||||||||||
| вид | замена | |||||||||||
| 
| |||||||||||
| 
| |||||||||||
|  ,
решаем последнее уравнение и находим
| |||||||||||
| 
| |||||||||||
| 
| |||||||||||
| 
| |||||||||||
| выделяем полный квадрат трехчлена и приходим к одному из случаев № 4, 5, 6. | |||||||||||
| выделяем полный квадрат трехчлена и получаем табличный интеграл (см. 18 или 20) | |||||||||||
|  
1-ый интеграл – табличный (см. 3), 2-ой – см. № 8.
| |||||||||||
Приложения определенного интеграла
|
|
|
|
|
|
| Площадь плоской фигуры | |||
| в декартовых координатах |  Фигура ограничена графиком функции  линиями  и осью 
| 
| |
 Фигура ограничена графиками функций  линиями  , 
| 
или
| ||
 Фигура ограничена графиком функции   линиями  .
| 
или
| ||
| в полярных координатах | Фигура ограничена графиком функции  лучами 
| 
| |
 Фигура ограничена графиками функций  и лучами  , 
| 
| ||
| Длина кривой в декартовых координатах | Дуга определяется графиком функции
 где 
| 
| |
| Длина кривой заданной параметрически | Дуга определяется графиком функции
 где 
| 
| |
| Длина кривой в полярных координатах | Дуга определяется графиком функции
где 
| 
| |
| Площадь поверхности тела вращения | Тело образовано вращением графика функции  вокруг оси OX, ограниченного
| 
| |
| Объём тела вращения | 
| ||
Тело образовано вращением графика функции вокруг оси OY, ограниченного прямыми 
| 
| ||
| Площадь поверхности тела вращения |  Тело образовано вращением графика функции 
вокруг оси OY, ограниченного прямыми
| 
| |
| Объём тела вращения | 
| ||
Тело образовано вращением графика функции вокруг оси OX, ограниченного 
| 
| ||
