Производная функции

Типовой расчет по теме ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть в некотором промежутке задана непрерывная функция . - заданная точка (рис.33).

		Дадим аргументу приращение , тогда функция получит прира-щение , это величина отрезка ВС (рис.1). Отношение называется средней скоростью изменения фун-кции в промежутке , а предел этого

У Д

В

Е

А

С

О а в х

Рис. 1

отношения, когда , называется производнойфункции в заданной точке . Таким образом, .

Замечание. Если не существует, то и производной тоже не существует.

Производную функции в произвольной точке х принято обозначать или , или . Если же точка задана, значение производной в этой точке записывают в виде , .

Производная функции в заданной точке характеризует скорость изменения функции в этой точке. Например, производная от пути по времени есть скорость движения, то есть ; производная от скорости по времени дает ускорение движения . Если функция выражает количество электричества,

протекающего за время t через сечение проводника, то есть сила тока в момент времени t. Видно (рис. 33), что . Переходя к пределу при ,получаем . Итак, производная функции в заданной точке равна тангенсу угла , который образует касательная в точке с осью ОХ: . Так как , то . Поскольку уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид , то получим уравнение касательной АД: (рис. 33).

Так как нормаль , то . Поэтому уравнение нормали АЕ имеет вид (рис. 33).

Пример. Найти производную функции в производной точке х.

Решение. , тогда . Так как , то

. .

.

Замечание. При нахождении предела следует помнить, что , -переменная.