2015-07-21
947
Билет №18.
В гидродинамике и динамической метеорологии — система дифференциальных уравнений, представляющих собой приложение второго закона Ньютона к жидкости (воздуху). Полное ускорение частицы приравнивается сумме сил, действующих на частицу. У. Д. Ж. на вращающейся Земле в векторной форме сводятся к уравнению
где F — сила трения на единицу массы, а остальные обозначения см. в начале словаря. В системе декартовых координат с началом в произвольной точке земной поверхности, причем оси x и y лежат в плоскости горизонта и направлены к востоку и северу, а ось z — вверх, У. Д. Ж. имеют вид:
В правых частях уравнений стоят составляющие сил Кориолиса, барического градиента, трения и тяжести. В уравнении по оси z можно пренебречь вертикальной составляющей силы Кориолиса, вертикальным ускорением и силой трения; при этих упрощениях уравнение по оси ζ принимает вид основного уравнения статики атмосферы.
Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда
,
где S — поверхность выделенного объёма, g — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что 
, где ρ — плотность жидкости в данной точке, получим:
В силу произвольности объёма V подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:
Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:
получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:
|
где 
— плотность жидкости,
— давление в жидкости,
— вектор скорости жидкости,
— вектор напряжённости силового поля,
— оператор набла для трёхмерного пространства.
