Определение: дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию и ее производные. Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество, называется решением этого уравнения. Решение уравнения, содержащее произвольную постоянную величину, имеет вид .
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: или . Например: ; .
Порядком (рангом) дифференциального уравнения является порядок старшей производной входящей в него. Общий вид дифференциального уравнения -го порядка следующий: .
Общим решением дифференциального уравнения -го порядка называется функция , существенно зависящая от произвольных постоянных и обращающая данное уравнение в тождество при любых значениях этих постоянных.
Уравнение вида , где и – постоянные действительные числа называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение имеет вид функции . Дифференцируя ее, имеем , . Уравнение, получаемое при подстановке в условие значений и , имеет вид – называется характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения.
|
|
Решить, или проинтегрировать, данное дифференциальное уравнение – значит найти его общее решение, которое имеет вид: . Решение, которое получается из общего решения при некотором фиксированном значении произвольной постоянной С, называется частным решением: если при , , то такие условия называются начальными.
Простейшие классы дифференциальных уравнения:
1. , тогда если данный интеграл берется, то уравнение интегрируется в элементарных функциях.
2. Уравнение вида (правая часть не содержит х). Т.к. , то , . Интегрируя обе части имеем: или (могут быть потеряны корни ).
3. Уравнение с разделенными переменными, т.е. уравнение вида: , или
4. Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид: или . Его можно записать виде: .
Ряды
Основные понятия:
Определение 1. Математическое выражение называется числовым рядом, или просто рядом, а числа называются членами ряда. Применяется и запись: .
Ряд считается заданным, если известен общий член .
Сумма конечного числа членов ряда , , и т.д. называются частными суммами (отрезками) ряда.
Рассмотрим последовательность .
Определение 2. Если существует предел , то ряд называется сходящимся, а число S – суммой этого ряда.
Если эта последовательность не имеет предела, то ряд называется расходящимся.
Расходящийся ряд суммы не имеет.
|
|
Признаки сходимости ряда:
Если ряд сходится, то общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т.е. (это необходимый признак сходимости ряда).
Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится при .
Признак Даламбера: если для положительного ряда существует , то при ряд сходится, а при – расходится.
Числовые ряды бывают знакопостоянные и знакопеременные: если все члены ряда только положительные, то это знакоположительный ряд; если все члены – отрицательные, то это знакоотрицательный ряд; если не все члены имеют одинаковые знаки, то это знакопеременный ряд.
Ряд, членами которых являются функции , называются функциональными. Пример: .
Если в функциональном ряде придать значение , то ряд будет числовым.
Степенными рядами называются функциональные ряды вида , где – постоянные числа, называемые коэффициентами степенного ряда.
Пример:
. Этот ряд сходится лишь при . При всех этот ряд расходится. Такой ряд относится к рядам первого класса.
Есть степенные ряды, которые сходятся на всей числовой оси. Такие ряды относятся к рядам второго класса. Например, ряд сходится на всей числовой оси:
Ряды, которые не принадлежат к рядам первого и второго классов, относятся к рядам третьего класса.
Например ряд ; есть ряд третьего класса, т.к. .
Определение: такое число , что степенной ряд сходится при и расходится при называется радиусом сходимости. Для рядов первого класса ; для ряда второго класса .
Если для ряда существует и отличен от нуля предел , то . В примере, рассмотренном выше, , а областью сходимости .
Ряды по степени разности
Степенным рядом называется также функциональный ряд вида . Интервалом сходимости такого ряда является с центром в точке .
Если функция является суммой степенного ряда, то говорят, что функция разлагается в степенной ряд по степеням .
Ряд вида , называется рядом Тейлора.
Коэффициенты этого ряда: , , , …, называются коэффициентами Тейлора функции в точке .
Если , то получим частный случай ряда Тейлора, ряд Маклорена: .